❤3❤🔥2🔥2
#колм
Публикуем задачи второго тура:
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐵𝐶, и пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, а Γ — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к Γ в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на Γ.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐻 — центр описанной окружности и точка пересечения высот соответственно. Касательные в точках 𝐵 и 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекают прямые 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐵𝑂 и 𝐶𝐻 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐶𝑂 и 𝐵𝐻 пересекаются в точке 𝑄. Оказалось, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄.
Одну из задач сегодняшнего тура внимательные ‼️ подписчики нашего канала уже решали. Ждем от вас ссылки на наш пост в обсуждении) Какая из картинок 🖼 вам больше нравится? Старая или новая?
Публикуем задачи второго тура:
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐵𝐶, и пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, а Γ — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к Γ в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на Γ.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐻 — центр описанной окружности и точка пересечения высот соответственно. Касательные в точках 𝐵 и 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекают прямые 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐵𝑂 и 𝐶𝐻 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐶𝑂 и 𝐵𝐻 пересекаются в точке 𝑄. Оказалось, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄.
Одну из задач сегодняшнего тура внимательные ‼️ подписчики нашего канала уже решали. Ждем от вас ссылки на наш пост в обсуждении) Какая из картинок 🖼 вам больше нравится? Старая или новая?
❤4❤🔥2😁2👍1🤡1
❤🔥4❤2🔥1
#колм
Сегодня нам приглянулись задачи сеньоров. В юниор-лиге вновь дали баян 🪗, который уже давно кочует 🐫 из одного листика на гомотетию в другой.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 соответственно так, что 𝑃𝐵𝑄𝑅 — ромб. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑇. На отрезках 𝐴𝑇 и 𝑇𝐶 выбраны точки 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что ∠𝐴𝑃𝐾 = ∠𝐴𝑄𝑃 и ∠𝐶𝑄𝐿 = ∠𝐶𝑃𝑄. Докажите, что прямые 𝐾𝐿 и 𝑃𝑄 симметричны относительно прямой 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Выбирается произвольная касательная 𝑙 к его описанной окружности, которая пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 отразили относительно биссектрис углов 𝐴, 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно, и они образовали треугольник. Докажите, что его площадь не зависит от выбора касательной 𝑙.
Присоединяйтесь к обсуждению и делитесь вашими впечатлениями о прошедшем туре
Сегодня нам приглянулись задачи сеньоров. В юниор-лиге вновь дали баян 🪗, который уже давно кочует 🐫 из одного листика на гомотетию в другой.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 соответственно так, что 𝑃𝐵𝑄𝑅 — ромб. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑇. На отрезках 𝐴𝑇 и 𝑇𝐶 выбраны точки 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что ∠𝐴𝑃𝐾 = ∠𝐴𝑄𝑃 и ∠𝐶𝑄𝐿 = ∠𝐶𝑃𝑄. Докажите, что прямые 𝐾𝐿 и 𝑃𝑄 симметричны относительно прямой 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Выбирается произвольная касательная 𝑙 к его описанной окружности, которая пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 отразили относительно биссектрис углов 𝐴, 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно, и они образовали треугольник. Докажите, что его площадь не зависит от выбора касательной 𝑙.
Присоединяйтесь к обсуждению и делитесь вашими впечатлениями о прошедшем туре
❤6❤🔥3🔥2
❤🔥4❤2🔥2
#колм
Прошли финальные 🏁 бои турнира Колмогорова. Делимся с вами геомкой юниоров
Задача. Пусть 𝐴𝐷 — высота остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐵′, 𝐶′ выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐵𝐷 = 𝐵′𝐷 и 𝐶𝐷 = 𝐶′𝐷. Окружность Ω𝑏 касается прямой 𝐵𝐷 в точке 𝐵 и проходит через точку 𝐵′. Окружность Ω𝑐 касается прямой 𝐶𝐷 в точке 𝐶 и проходит через точку 𝐶′. Точки 𝑋 ∈ Ω𝑏 и 𝑌 ∈ Ω𝑐 выбраны так, что ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝑌𝐷 = 180° − ∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵, 𝐶, 𝑋, 𝑌 лежат на одной окружности.
Прошли финальные 🏁 бои турнира Колмогорова. Делимся с вами геомкой юниоров
Задача. Пусть 𝐴𝐷 — высота остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐵′, 𝐶′ выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐵𝐷 = 𝐵′𝐷 и 𝐶𝐷 = 𝐶′𝐷. Окружность Ω𝑏 касается прямой 𝐵𝐷 в точке 𝐵 и проходит через точку 𝐵′. Окружность Ω𝑐 касается прямой 𝐶𝐷 в точке 𝐶 и проходит через точку 𝐶′. Точки 𝑋 ∈ Ω𝑏 и 𝑌 ∈ Ω𝑐 выбраны так, что ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝑌𝐷 = 180° − ∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵, 𝐶, 𝑋, 𝑌 лежат на одной окружности.
❤🔥7❤4🔥2
#геом_разминка #easy #7
Вчера прошел всероссийский математический диктант. Там была такая задача:
Задача. Ваня собрал из лиловых квадратов, красных треугольников и голубых ромбиков 12-угольник, все углы которого равны. Чему равен меньший угол ромбика?
Замощение многоугольниками вошло в моду 💃 Недавно мы предлагали вам похожую задачу. Может и вы где-то встречали что-то похожее? Пишите нам 🖌
Добавили в комменты файлик с условиями диктанта — предлагаем проверить свои силы 💪
Вчера прошел всероссийский математический диктант. Там была такая задача:
Задача. Ваня собрал из лиловых квадратов, красных треугольников и голубых ромбиков 12-угольник, все углы которого равны. Чему равен меньший угол ромбика?
Замощение многоугольниками вошло в моду 💃 Недавно мы предлагали вам похожую задачу. Может и вы где-то встречали что-то похожее? Пишите нам 🖌
Добавили в комменты файлик с условиями диктанта — предлагаем проверить свои силы 💪
❤8❤🔥6🔥5😁2🐳2
Поздравляем всех подписчиков с Днем математика 🧑🎓
Для вас мы подготовили подарок 🎁, дочитайте пост до конца, чтобы узнать, что это 😉
Финишировал 🏁 Кубок Колмогорова.
Победителями 🏆 в высших юниор и сеньор лигах стали команды Санкт-Петербург 239 9-2 и МММФ соответственно. Поздравляем ребят и их наставников 🥳
Под занавес турнира прошла личная олимпиада, по традиции делимся с вами избранными геомками:
Задача. Касательные в точках 𝐴 и 𝐵 к описанной окружности треугольника пересекаются в точке 𝐹. 𝐴₁ и 𝐵₁ — середины сторон и соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐹𝐴𝐵₁ и 𝐹𝐵𝐴₁ пересекаются в точке 𝐿. Отрезок 𝐹𝐿 пересекает сторону в точке в точке 𝐾. Докажите, что 𝐿, 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐾 лежат на одной окружности.
Задача. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶). Окружность Ω с центром в точке 𝑀 на прямой 𝐴𝐷 проходит через точки 𝐵 и 𝐶 и повторно пересекает описанные окружности треугольников 𝐵𝐴𝑀 и 𝐵𝐷𝑀 в точках 𝑃 и 𝑄. Прямые 𝑃𝑄 и 𝐴𝐷 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что прямая 𝑇𝐶 касается окружности Ω.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 треугольник, в котором ∠𝐴𝐶𝐵 = 90° и ∠𝐴 >∠𝐵. Касательная в точке 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает прямую 𝐴𝐵 в точке 𝐷. Точка 𝐸 середина отрезка 𝐶𝐷, а точка 𝐹 лежит на прямой 𝐸𝐵 так, что 𝐴𝐹 ‖ 𝐶𝐷. Докажите, что прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐹 перпендикулярны.
В честь сегодняшнего праздника🎉 мы открываем небольшой донабор в совместный кружок Фулл и точка и ФКН. Подробнее о правилах отбора и том, как у устроены занятия читайте на 👉страничке кружка👈 Успейте подать заявку, сроки и число мест ограничено!
Удачи при отборе 🍀
Для вас мы подготовили подарок 🎁, дочитайте пост до конца, чтобы узнать, что это 😉
Финишировал 🏁 Кубок Колмогорова.
Победителями 🏆 в высших юниор и сеньор лигах стали команды Санкт-Петербург 239 9-2 и МММФ соответственно. Поздравляем ребят и их наставников 🥳
Под занавес турнира прошла личная олимпиада, по традиции делимся с вами избранными геомками:
Задача. Касательные в точках 𝐴 и 𝐵 к описанной окружности треугольника пересекаются в точке 𝐹. 𝐴₁ и 𝐵₁ — середины сторон и соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐹𝐴𝐵₁ и 𝐹𝐵𝐴₁ пересекаются в точке 𝐿. Отрезок 𝐹𝐿 пересекает сторону в точке в точке 𝐾. Докажите, что 𝐿, 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐾 лежат на одной окружности.
Задача. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶). Окружность Ω с центром в точке 𝑀 на прямой 𝐴𝐷 проходит через точки 𝐵 и 𝐶 и повторно пересекает описанные окружности треугольников 𝐵𝐴𝑀 и 𝐵𝐷𝑀 в точках 𝑃 и 𝑄. Прямые 𝑃𝑄 и 𝐴𝐷 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что прямая 𝑇𝐶 касается окружности Ω.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 треугольник, в котором ∠𝐴𝐶𝐵 = 90° и ∠𝐴 >∠𝐵. Касательная в точке 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает прямую 𝐴𝐵 в точке 𝐷. Точка 𝐸 середина отрезка 𝐶𝐷, а точка 𝐹 лежит на прямой 𝐸𝐵 так, что 𝐴𝐹 ‖ 𝐶𝐷. Докажите, что прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐹 перпендикулярны.
В честь сегодняшнего праздника
Удачи при отборе 🍀
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤16🤡5🔥2🎉2
#разминка #easy #9
Сегодня предлагаем вашему вниманию задачку из учебника Волчкевича про воздушный шар 🎈Но прежде — анекдот :)
Задача. Гениальный русский учёный-химик Дмитрий Иванович Менделеев 7 августа 1887 г. в одиночку совершил полёт на воздушном шаре «Русский» диаметром 11 м для наблюдения полного солнечного затмения. Шар поднялся выше облаков на высоту 3500 м, a при спуске крестьяне деревни Спас-Угол сначала приняли его за немецкого шпиона. Один из них даже погрозил ему кулаком. На каком расстоянии находился в этот момент воздушный шар Менделеева, если кулак крестьянина полностью заслонил его на небе? Известно, что кулак вытянутой руки виден самим человеком под углом около 10°.
Сегодня предлагаем вашему вниманию задачку из учебника Волчкевича про воздушный шар 🎈Но прежде — анекдот :)
Шерлок Холмс и доктор Ватсон летели на воздушном шаре. Но был такой сильный туман, что они заблудились. Но вот порыв ветра, облака рассеиваются, Шерлок Холмс и доктор Ватсон видят человека, пасущего овец.
— Скажите, любезнейший, а где мы находимся? — спрашивает доктор Ватсон.
Подумав, пастух отвечает:
— На воздушном шаре.
Новый порыв ветра подхватывает шар, и Шерлок Холмс с доктором Ватсоном летят дальше.
— Ох, уж эти математики! — восклицает Холмс.
— Постойте, Холмс, но как вы догадались?
— Это элементарно, Ватсон! Он ответил, подумав. И дал совершенно верный, но совершенно бесполезный ответ.
Задача. Гениальный русский учёный-химик Дмитрий Иванович Менделеев 7 августа 1887 г. в одиночку совершил полёт на воздушном шаре «Русский» диаметром 11 м для наблюдения полного солнечного затмения. Шар поднялся выше облаков на высоту 3500 м, a при спуске крестьяне деревни Спас-Угол сначала приняли его за немецкого шпиона. Один из них даже погрозил ему кулаком. На каком расстоянии находился в этот момент воздушный шар Менделеева, если кулак крестьянина полностью заслонил его на небе? Известно, что кулак вытянутой руки виден самим человеком под углом около 10°.
❤10😁7😐2
#геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник и пусть 𝑂 центр его описанной окружности. Пусть 𝑃 и 𝑄 — такие точки, что 𝐵𝑂𝐴𝑃 и 𝐶𝑂𝑃𝑄 — параллелограммы. Докажите, что 𝑄 является ортоцентром треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник и пусть 𝑂 центр его описанной окружности. Пусть 𝑃 и 𝑄 — такие точки, что 𝐵𝑂𝐴𝑃 и 𝐶𝑂𝑃𝑄 — параллелограммы. Докажите, что 𝑄 является ортоцентром треугольника 𝐴𝐵𝐶.
❤8👍4❤🔥2👎2👌1