Дорогие коллеги!
Сегодня я получил сообщение от нашего замечательного подписчика (который просил не называть его имени) о том, что он получил заказанную в URSS книгу "Математический анализ" Теренса Тао: "вот она! Распаковал посылку. Возможно я один из первых кто заказал. Пахнет еще книжка свеженьким…типографией)
Мне нравится и обложка и печать) Сегодня же приступаю к чтению) УРСС норм распечатал и обложка достойная, все молодцы в общем)"
Для меня это было удивительно, т.к. мы, переводчики, об этом ещё не слышали, и рассчитывали, что она будет отпечатана только в середине ноября 😁
Но в любом случае, мы поздравляем нас всех, а также наших дорогих коллег из URSS с этим большим достижением! В конце ноября будем стараться отправить книгу автору в США, а пока наслаждаемся моментом и запахом свежей типографии 😊😊😊
#ёжик_переводит_тао
#urss
#математический_анализ_I
#математический_анализ_II
Сегодня я получил сообщение от нашего замечательного подписчика (который просил не называть его имени) о том, что он получил заказанную в URSS книгу "Математический анализ" Теренса Тао: "вот она! Распаковал посылку. Возможно я один из первых кто заказал. Пахнет еще книжка свеженьким…типографией)
Мне нравится и обложка и печать) Сегодня же приступаю к чтению) УРСС норм распечатал и обложка достойная, все молодцы в общем)"
Для меня это было удивительно, т.к. мы, переводчики, об этом ещё не слышали, и рассчитывали, что она будет отпечатана только в середине ноября 😁
Но в любом случае, мы поздравляем нас всех, а также наших дорогих коллег из URSS с этим большим достижением! В конце ноября будем стараться отправить книгу автору в США, а пока наслаждаемся моментом и запахом свежей типографии 😊😊😊
#ёжик_переводит_тао
#urss
#математический_анализ_I
#математический_анализ_II
❤31🔥6🕊2
Топология ёжикам не игрушка, а инструмент для вдумчивого исследования!
Разработка этого мема запомнилась лично мне очень надолго.
P.S.: промежуточные варианты, получившиеся до финальной версии, приведённые в карусели, могут показаться кому-то сценами из какого-то ужастика. Я предупредил.
#ёжик_развлекается
Разработка этого мема запомнилась лично мне очень надолго.
P.S.: промежуточные варианты, получившиеся до финальной версии, приведённые в карусели, могут показаться кому-то сценами из какого-то ужастика. Я предупредил.
#ёжик_развлекается
😁10🕊2👍1
Дорогие коллеги!
Воскресенье продолжается! И теперь мы хотели поместить достаточно бородатый мем на тему предела числовой последовательности. Почему предел именно последовательности? Функции явно заданы на множестве натуральных чисел 😊
#ёжик_развлекается
Воскресенье продолжается! И теперь мы хотели поместить достаточно бородатый мем на тему предела числовой последовательности. Почему предел именно последовательности? Функции явно заданы на множестве натуральных чисел 😊
#ёжик_развлекается
❤5🕊5😁2
Дорогие коллеги!
Давненько у нас не было «Записок Робинзона Крузо»! И вот последняя неделя явно заслуживает, чтобы о ней рассказать подробнее. В понедельник я выступил на конференции «Тихоновские чтения», а в среду вечером улетел в замечательный город Иннополис, чтобы прочитать 4 лекции студентам местного университета. При этом стандартную нагрузку в МГУ с меня, понятное дело, тоже никто не снимал)
В четверг меня пригласил к себе ректор Университета Иннополис, А.В. Гасников. Александр Владимирович, надо сказать, очень достойный человек! Несмотря на его колоссальную загруженность и огромную ответственность, ректор Иннополиса продолжает заниматься наукой и интересоваться образовательными проектами. Мы с ним проговорили где-то полчаса и успели обсудить много интересных вопросов, например публикацию книги Аврима Блюма, которую уже почти перевела команда переводчиков из команды Ёжика. Александр подарил мне любопытную книжку Н. Литвак и А. Райгородского «Кому нужна математика?», которую он раньше присылал мне в электронном виде. Я думаю, что если найдутся желающие, то мы можем выложить эту книгу на Ёжике!
Уже в конце нашей встречи я узнал, что Александр Владимирович встретился со мной вместо своего обеда... Я думаю, что только это могло бы стать причиной помочь этому посту своим «лайком», коллеги!
#записки_робинзона_крузо
Давненько у нас не было «Записок Робинзона Крузо»! И вот последняя неделя явно заслуживает, чтобы о ней рассказать подробнее. В понедельник я выступил на конференции «Тихоновские чтения», а в среду вечером улетел в замечательный город Иннополис, чтобы прочитать 4 лекции студентам местного университета. При этом стандартную нагрузку в МГУ с меня, понятное дело, тоже никто не снимал)
В четверг меня пригласил к себе ректор Университета Иннополис, А.В. Гасников. Александр Владимирович, надо сказать, очень достойный человек! Несмотря на его колоссальную загруженность и огромную ответственность, ректор Иннополиса продолжает заниматься наукой и интересоваться образовательными проектами. Мы с ним проговорили где-то полчаса и успели обсудить много интересных вопросов, например публикацию книги Аврима Блюма, которую уже почти перевела команда переводчиков из команды Ёжика. Александр подарил мне любопытную книжку Н. Литвак и А. Райгородского «Кому нужна математика?», которую он раньше присылал мне в электронном виде. Я думаю, что если найдутся желающие, то мы можем выложить эту книгу на Ёжике!
Уже в конце нашей встречи я узнал, что Александр Владимирович встретился со мной вместо своего обеда... Я думаю, что только это могло бы стать причиной помочь этому посту своим «лайком», коллеги!
#записки_робинзона_крузо
🔥33❤12🏆4🕊2😁1
Добрый день, уважаемые коллеги! 🤓
📋Сегодня хочу затронуть одну из самых известных геометрических теорем, знакомую каждому еще со школьной скамьи — теорему Пифагора. Несмотря на то, что открыта она более 2700 лет назад, её актуальность не теряется, а наоборот, все больше и больше побуждает к новым открытиям ее доказательства, которых уже насчитывают около 200!
📐Первые упоминания о ней ведут к "Началам" Евклида, но её предшественников можно найти во многих древних цивилизациях Востока. Возможно, что и сам Пифагор был знаком с ними за время своих путешествий. Но его заслуга состоит в обобщении всех имеющихся частых случаев в виде одной теоретической схемы, справедливой для любого прямоугольного треугольника.
📌Оригинальная формулировка теоремы Пифагора звучит так:
"В данном треугольнике с вершинами (углами) A, B и C угол A является прямым углом тогда и только тогда, когда площадь квадрата, построенного на стороне a, противолежащей A, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах b и c (т.е. a^2=b^2+c^2, см. рисунок 2). Это порождает некоторые замечания.
1. В современном мире мы используем лишь часть оригинальной формулировки, но она остается верной в силу перпендикулярности катетов.
2. Главная цель теоремы — определение перпендикулярности. На практике лишь путем измерения конкретных величин с помощью веревки с узлами можно было доказать справедливость.
3. Применима для графического решения задачи о построении квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.
4. Выражение переменных a, b или c из тождества помогли открыть первые иррациональные числа, такие как, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} и т.д.
🟰 Как отмечалось выше, теорема Пифагора была известна во многих восточных странах, например, в Китае. И ее китайская версия Кон Ку, содержащаяся в трактате "Чжоу би суань цзин" (см. рисунок 3) в виде рисунка, где изображено равенство площади квадрата со стороной 5 сумме площадей со сторонами 3 и 4, а сами стороны прямоугольного треугольника связаны равенством 5^2=3^2+4^2.
🎍Спустя время, китайские математики доказали справедливость равенства для произвольного прямоугольного треугольника. А само доказательство основано на образе побега бамбука, который сломал ветер . И при известной высоте стебля бамбука и горизонтального расстояния от основания до его кончика, можно легко найти всю длину побега, то есть, гипотенузу.
И это лишь малая часть того, что было известно в Древности. В следующих постах будут опубликованы различные способы доказательства именитой теоремы, а также самое последнее, открытое буквально недавно.
🧑🎨В конце своего исторического экскурса хочется еще раз подчеркнуть, что эта теорема не теряет актуальности благодаря огромнейшему спектру применения. Она является ключом к решению разных задач — от математики до дизайнерских интерьеров!
#ёжик_пишет
#алгебра_и_геометрия
#элементарная_математика
📋Сегодня хочу затронуть одну из самых известных геометрических теорем, знакомую каждому еще со школьной скамьи — теорему Пифагора. Несмотря на то, что открыта она более 2700 лет назад, её актуальность не теряется, а наоборот, все больше и больше побуждает к новым открытиям ее доказательства, которых уже насчитывают около 200!
📐Первые упоминания о ней ведут к "Началам" Евклида, но её предшественников можно найти во многих древних цивилизациях Востока. Возможно, что и сам Пифагор был знаком с ними за время своих путешествий. Но его заслуга состоит в обобщении всех имеющихся частых случаев в виде одной теоретической схемы, справедливой для любого прямоугольного треугольника.
📌Оригинальная формулировка теоремы Пифагора звучит так:
"В данном треугольнике с вершинами (углами) A, B и C угол A является прямым углом тогда и только тогда, когда площадь квадрата, построенного на стороне a, противолежащей A, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах b и c (т.е. a^2=b^2+c^2, см. рисунок 2). Это порождает некоторые замечания.
1. В современном мире мы используем лишь часть оригинальной формулировки, но она остается верной в силу перпендикулярности катетов.
2. Главная цель теоремы — определение перпендикулярности. На практике лишь путем измерения конкретных величин с помощью веревки с узлами можно было доказать справедливость.
3. Применима для графического решения задачи о построении квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.
4. Выражение переменных a, b или c из тождества помогли открыть первые иррациональные числа, такие как, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} и т.д.
🟰 Как отмечалось выше, теорема Пифагора была известна во многих восточных странах, например, в Китае. И ее китайская версия Кон Ку, содержащаяся в трактате "Чжоу би суань цзин" (см. рисунок 3) в виде рисунка, где изображено равенство площади квадрата со стороной 5 сумме площадей со сторонами 3 и 4, а сами стороны прямоугольного треугольника связаны равенством 5^2=3^2+4^2.
🎍Спустя время, китайские математики доказали справедливость равенства для произвольного прямоугольного треугольника. А само доказательство основано на образе побега бамбука, который сломал ветер . И при известной высоте стебля бамбука и горизонтального расстояния от основания до его кончика, можно легко найти всю длину побега, то есть, гипотенузу.
И это лишь малая часть того, что было известно в Древности. В следующих постах будут опубликованы различные способы доказательства именитой теоремы, а также самое последнее, открытое буквально недавно.
🧑🎨В конце своего исторического экскурса хочется еще раз подчеркнуть, что эта теорема не теряет актуальности благодаря огромнейшему спектру применения. Она является ключом к решению разных задач — от математики до дизайнерских интерьеров!
#ёжик_пишет
#алгебра_и_геометрия
#элементарная_математика
❤6🕊2😁1
Уважаемые коллеги!
Данный пост создавался, в основном, по двум причинам
Меня постоянно просят посоветовать задачники с подробными решениями для самостоятельного изучения или для студентов первого курса, то есть для новичков в какой либо области, чтобы была возможность читать параллельно лекциям в университете и закрывать пробелы.
Приведенные книги, а точнее ссылки на тематические посты Ёжика с учебниками, задачниками и методическими пособиями которые предоставляют изучающему различные дисциплины высшей математики и возможность разобраться самостоятельно в алгоритмах решения задач.
С другой стороны, представленные пособия содержат значительное количество заданий, которые могут быть использованы при всех формах обучения. Несмотря на то, что пособия рассчитаны на первоначальное знакомство с предметом, я не вижу никакой возможности запретить использовать пособие в своей работе подготовленными читателями, в частности преподавателями вузов, в том числе, начинающими 😊
Поехали!
▫️Линейная алгебра
vk.com/wall-186208863_29894
▫️Теория вероятностей и математическая статистика
vk.com/wall-186208863_29582
▫️ Дискретная математика
vk.com/wall-186208863_29798
▫️Уравнения математической физики
vk.com/wall-186208863_29692
▫️Математический анализ а точнее Calculus
vk.com/wall409016625_1018
▫️ Теория функций комплексного переменного
vk.com/wall-186208863_30009
▫️Коллекция решебников из разных областей
vk.com/wall-186208863_26633
Продолжение следует 😉
#теория_вероятностей
#математическая_статистика
#дискретная_математика
#уравнения_математической_физики
#линейная_алгебра #calculus
#задачники #решебники
Данный пост создавался, в основном, по двум причинам
Меня постоянно просят посоветовать задачники с подробными решениями для самостоятельного изучения или для студентов первого курса, то есть для новичков в какой либо области, чтобы была возможность читать параллельно лекциям в университете и закрывать пробелы.
Приведенные книги, а точнее ссылки на тематические посты Ёжика с учебниками, задачниками и методическими пособиями которые предоставляют изучающему различные дисциплины высшей математики и возможность разобраться самостоятельно в алгоритмах решения задач.
С другой стороны, представленные пособия содержат значительное количество заданий, которые могут быть использованы при всех формах обучения. Несмотря на то, что пособия рассчитаны на первоначальное знакомство с предметом, я не вижу никакой возможности запретить использовать пособие в своей работе подготовленными читателями, в частности преподавателями вузов, в том числе, начинающими 😊
Поехали!
▫️Линейная алгебра
vk.com/wall-186208863_29894
▫️Теория вероятностей и математическая статистика
vk.com/wall-186208863_29582
▫️ Дискретная математика
vk.com/wall-186208863_29798
▫️Уравнения математической физики
vk.com/wall-186208863_29692
▫️Математический анализ а точнее Calculus
vk.com/wall409016625_1018
▫️ Теория функций комплексного переменного
vk.com/wall-186208863_30009
▫️Коллекция решебников из разных областей
vk.com/wall-186208863_26633
Продолжение следует 😉
#теория_вероятностей
#математическая_статистика
#дискретная_математика
#уравнения_математической_физики
#линейная_алгебра #calculus
#задачники #решебники
❤23🕊2
При изучении многих алгебраических задач — от свойств многочленов до изучения симметрий и преобразований пространств — неожиданно возникает потребность в инструменте, который выполнял бы ту же роль, что и производная в анализе: показывал бы, как «меняется» функция, но в полностью алгебраических условиях. В обычном анализе мы опираемся на пределы; в алгебре же понятие предела часто бесполезно, и поэтому алгебраисты решили взять не технику пределов, а правило Лейбница и линейность как аксиомы и построить на этом теорию.
Возможно многие сталкивались с формальными производными в курсе алгебры первого семестра. Понятие дифференцирования обобщает формальные производные до более общего случая.
Дифференцирование в алгебре — это оператор D (определяется для произвольного кольца, однако чаще всего рассматривают дифференцирования, определённые на алгебрах), который удовлетворяет линейности и правилу Лейбница (D(fg)=D(f)g+fD(g)). Другими словами, мы берём ту часть идеи производной, которая не зависит от пределов, и используем её как чисто алгебраический инструмент.
Несмотря на то, что истоки этой науки зародились в работах Ньютона и Лейбница, основателями дифференциальной алгебры можно считать Джозефа Ритта и Эллиса Колчина.
В 50-х годах ХХ века Джозеф Ритт перенёс концепции абстрактной алгебры (кольца, поля, алгебры) в контекст дифференцирований.
Эллис Колчин углубил и обобщил работу Ритта. Он построил дифференциальную теорию галуа - строгую теорию, которая для линейных дифференциальных уравнений связывает группу симметрий (дифференциальную группу Галуа) с разрешимостью уравнения в элементарных функциях или квадратурах, полностью аналогично классической теории Галуа.
Впоследствии этот мощный инструмент, аналогично производным из анализа, стал активно использоваться в различных областях. Дифференциальная алгебра важна, например, для компьютерной алгебры и алгебраической геометрии.
Дифференцирования очень плотно связаны с алгебрами Ли. Например, так как присоединённый оператор является дифференцированием алгебры Ли (что легко доказать, так как тождество Якоби можно представить в виде правила Лейбница, если в качестве дифференцирования брать «коммутирование с элементом алгебры»), все нильпотентные и разрешимые алгебры Ли описываются дифференцированиями.
В терминах дифференцирований уже давно формулируется и интенсивно изучается гипотеза Якобиана.
Важнейшей областью, выросшей из дифференциальной алгебры является алгебраическая теория локально нильпотентных дифференцирований. В ней рассматриваются свойства локально нильпотентных дифференцирований - дифференцирований, которые при последовательном применении к любому элементу структуры, рано или поздно дают ноль.
Изучение локально нильпотентных дифференцирований началось с изучения G_a действий (действий аддитивной группы поля) и четырнадцатой проблемы Гильберта. Оказывается, локально нильпотентные дифференцирования задают эти самые G_a действия, и часто тем самым вопросы алгебраической геометрии можно изучать в терминах локально нильпотентных дифференцирований.
Дифференцирования продолжают активно изучаться и сейчас, пусть акцент и сместился с чистой абстрактной алгебры в сторону алгебраической геометрии. Однако до сих пор это одна из интереснейших областей, которая широко используется и показывает красоту связи двух гигантов: алгебры и анализа.
P.S. На картинке изображена поверхность Данилевского xy = z^2 - 1, сгенерированная в Desmos. Она связана с проблемой сокращения Зарисского, в решении которой активно используются локально нильпотентные дифференцирования (не придумал какую ещё картинку можно прикрепить :D)
#предложка_ёжика
#общая_алгебра
Возможно многие сталкивались с формальными производными в курсе алгебры первого семестра. Понятие дифференцирования обобщает формальные производные до более общего случая.
Дифференцирование в алгебре — это оператор D (определяется для произвольного кольца, однако чаще всего рассматривают дифференцирования, определённые на алгебрах), который удовлетворяет линейности и правилу Лейбница (D(fg)=D(f)g+fD(g)). Другими словами, мы берём ту часть идеи производной, которая не зависит от пределов, и используем её как чисто алгебраический инструмент.
Несмотря на то, что истоки этой науки зародились в работах Ньютона и Лейбница, основателями дифференциальной алгебры можно считать Джозефа Ритта и Эллиса Колчина.
В 50-х годах ХХ века Джозеф Ритт перенёс концепции абстрактной алгебры (кольца, поля, алгебры) в контекст дифференцирований.
Эллис Колчин углубил и обобщил работу Ритта. Он построил дифференциальную теорию галуа - строгую теорию, которая для линейных дифференциальных уравнений связывает группу симметрий (дифференциальную группу Галуа) с разрешимостью уравнения в элементарных функциях или квадратурах, полностью аналогично классической теории Галуа.
Впоследствии этот мощный инструмент, аналогично производным из анализа, стал активно использоваться в различных областях. Дифференциальная алгебра важна, например, для компьютерной алгебры и алгебраической геометрии.
Дифференцирования очень плотно связаны с алгебрами Ли. Например, так как присоединённый оператор является дифференцированием алгебры Ли (что легко доказать, так как тождество Якоби можно представить в виде правила Лейбница, если в качестве дифференцирования брать «коммутирование с элементом алгебры»), все нильпотентные и разрешимые алгебры Ли описываются дифференцированиями.
В терминах дифференцирований уже давно формулируется и интенсивно изучается гипотеза Якобиана.
Важнейшей областью, выросшей из дифференциальной алгебры является алгебраическая теория локально нильпотентных дифференцирований. В ней рассматриваются свойства локально нильпотентных дифференцирований - дифференцирований, которые при последовательном применении к любому элементу структуры, рано или поздно дают ноль.
Изучение локально нильпотентных дифференцирований началось с изучения G_a действий (действий аддитивной группы поля) и четырнадцатой проблемы Гильберта. Оказывается, локально нильпотентные дифференцирования задают эти самые G_a действия, и часто тем самым вопросы алгебраической геометрии можно изучать в терминах локально нильпотентных дифференцирований.
Дифференцирования продолжают активно изучаться и сейчас, пусть акцент и сместился с чистой абстрактной алгебры в сторону алгебраической геометрии. Однако до сих пор это одна из интереснейших областей, которая широко используется и показывает красоту связи двух гигантов: алгебры и анализа.
P.S. На картинке изображена поверхность Данилевского xy = z^2 - 1, сгенерированная в Desmos. Она связана с проблемой сокращения Зарисского, в решении которой активно используются локально нильпотентные дифференцирования (не придумал какую ещё картинку можно прикрепить :D)
#предложка_ёжика
#общая_алгебра
🔥12👍2🕊2❤1
Коллега затронул любопытный вопрос о корнях уравнения х²+1=0. Есть корни или нет корней: вот в чём вопрос. Вроде как для магистров высоких ступеней Посвящения есть, а для непостигших Мудрости нету, а за "есть" они будут покараны.
Но мяу, коллеги, а у уравнения 2х=3 есть корни?
А если х в землекопах?
Всё зависит от задачи.
Вот задача: численность организмов подчиняется уравнению
N'(t) = aN(1-N/b) - c
с - отлов. Всё понятно, постоянная скорость изъятия особей (или биомассы) из популяции. а - среднее число потомков на одну особь (или кг биомассы), статистически, если особей много, это адекватно. А b - это ёмкость среды, то есть сколько особей (или биомассы) может жить в данном озере/секторе/океане/лесу.
Если отлова нет и b очень большое, то имеем модель Мальтуса, экспоненциальный рост - и b скоро уже не покажется большим. Если N~b, то рождаемость есть, но борьба за ресурсы очень жёсткая, один пришёл - другой (или этот же самый) ушёл. В итоге численность примерно такой и остаётся. Задачка разобрана у В.И. Арнольда в "Жёстких и мягких мат. моделях", нас интересует существование положений равновесия: постоянной численности.
Надо приравнять правую часть нулю и найти корни квадратного уравнения.
Но при больших с корней нет.
Я не хуже Вас знаю ТФКП, основную теорему алгебры и теорию многочленов над полем. Да, комплЕксные корни имеются - но что нам до них? Популяция-то вымирает, если её хищнически истреблять.
Если задача решается в целых числах, то нужны целочисленные решения. Любое число делится на любое ненулевое в R, но это же не повод закрывать теоретическую арифметику - люди, вообще-то, пользу приносят.
Отрицательные числа вещь знакомая с начальной школы. Моя дочка, что на дистанте сидела в 1 классе, решала задачу:
"У Вани 5 конфет, а у Пети - 4. Сколько у мальчиков вместе конфет?"
Дочь математика недрогнувшей ручкой выводит ответ "1". И поясняет: там же "минус четыре написано".
Иногда отрицательный ответ годится: долг, температура ниже нуля (если он не абсолютный, конечно), заряд, ситуации вроде "на сколько лет Вова старше Оли?".
А иногда он НЕ годится: если в долг не дают, если шкала в кельвинах, если заряд по модулю или не заряд, а масса, если вопрос не про Олю, а просто "сколько лет Васе".
А вот есть решения у дифура y'=sign(x)?
Спроси у одного - скажет "нет", а за "да" двойку влепит, ибо нечего тут: производная обладает свойством Коши (принимает все значения между двумя, которые принимает), так что разрывный "сайн" ничьей производной быть не может в принципе.
Спроси у другого - скажет: "да, конечно", так как интеграл от правой части берётся во всех смыслах и даёт y(x)=|x|, ну и там "плюс цэ" какое-то, это само собой.
Уточняйте, Вам шашечки или ехать, и если ехать, то - куда.
Но мяу, коллеги, а у уравнения 2х=3 есть корни?
А если х в землекопах?
Всё зависит от задачи.
Вот задача: численность организмов подчиняется уравнению
N'(t) = aN(1-N/b) - c
с - отлов. Всё понятно, постоянная скорость изъятия особей (или биомассы) из популяции. а - среднее число потомков на одну особь (или кг биомассы), статистически, если особей много, это адекватно. А b - это ёмкость среды, то есть сколько особей (или биомассы) может жить в данном озере/секторе/океане/лесу.
Если отлова нет и b очень большое, то имеем модель Мальтуса, экспоненциальный рост - и b скоро уже не покажется большим. Если N~b, то рождаемость есть, но борьба за ресурсы очень жёсткая, один пришёл - другой (или этот же самый) ушёл. В итоге численность примерно такой и остаётся. Задачка разобрана у В.И. Арнольда в "Жёстких и мягких мат. моделях", нас интересует существование положений равновесия: постоянной численности.
Надо приравнять правую часть нулю и найти корни квадратного уравнения.
Но при больших с корней нет.
Я не хуже Вас знаю ТФКП, основную теорему алгебры и теорию многочленов над полем. Да, комплЕксные корни имеются - но что нам до них? Популяция-то вымирает, если её хищнически истреблять.
Если задача решается в целых числах, то нужны целочисленные решения. Любое число делится на любое ненулевое в R, но это же не повод закрывать теоретическую арифметику - люди, вообще-то, пользу приносят.
Отрицательные числа вещь знакомая с начальной школы. Моя дочка, что на дистанте сидела в 1 классе, решала задачу:
"У Вани 5 конфет, а у Пети - 4. Сколько у мальчиков вместе конфет?"
Дочь математика недрогнувшей ручкой выводит ответ "1". И поясняет: там же "минус четыре написано".
Иногда отрицательный ответ годится: долг, температура ниже нуля (если он не абсолютный, конечно), заряд, ситуации вроде "на сколько лет Вова старше Оли?".
А иногда он НЕ годится: если в долг не дают, если шкала в кельвинах, если заряд по модулю или не заряд, а масса, если вопрос не про Олю, а просто "сколько лет Васе".
А вот есть решения у дифура y'=sign(x)?
Спроси у одного - скажет "нет", а за "да" двойку влепит, ибо нечего тут: производная обладает свойством Коши (принимает все значения между двумя, которые принимает), так что разрывный "сайн" ничьей производной быть не может в принципе.
Спроси у другого - скажет: "да, конечно", так как интеграл от правой части берётся во всех смыслах и даёт y(x)=|x|, ну и там "плюс цэ" какое-то, это само собой.
Уточняйте, Вам шашечки или ехать, и если ехать, то - куда.
❤7🕊3🍾1