Формат ЕГЭ +

До единого экзамена остается 2 месяца, и поэтому мы снова открываем рубрику подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Эту задачу предложили ученикам 11 класса на олимпиаде Курчатова в прошлое воскресенье, и она как раз соответствует формату задач второй части ЕГЭ на «доказательство + вычисление».
К сожалению, в данном на олимпиаде варианте задача была без рисунка и с некорректными длинами отрезков, поэтому я предлагаю решить второй пункт этой задачи с отрезками 1 и 4.
Как обычно, свои ответы пишите в комментариях.

01 04

Так уж сложилось, что свой первый урок в школе много лет назад я провел 1 апреля. Мне достался 8 класс, из которого учительница математики ушла в декрет накануне. Со звонком я зашел в кабинет и попросил ребят достать двойные листочки для проверочной работы. Как будто хотел проверить уровень их знаний. На доске я стал писать условия задач — одна другой сложнее. Мне было слышно, как по рядам прошел ропот, однако ученики все равно стали пытаться что-то решить. И я им не мешал минут 15. Только потом поздравил класс с 1 апреля и разрешил оставить работы себе на память.

Отношения с этим классом сложились отличные, и тот урок они помнят до сих пор. В начале сентября прошлого года мы с ними опять встречались. Кстати, все задачки проверочной работы на том уроке мы разобрали :)

А как вы отмечали этот день в школе? Пишите, какие шутки вы помните из своей практики!

Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.

Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была им по возрасту, то есть должна была иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!

ЕГЭ+ Решение

По просьбам читателей выкладываю решение аналога задачи с Олимпиады Курчатова (с корректными числами).
Хотя в комментариях к условию этой задачи похожие решения уже были, но нам часто пишут, что многие читатели комменты читать не успевают, либо в них не все понятно без рисунков.
Идея решения пункта Б) — это обобщенная теорема синусов. Интересно, что у этой задачи есть два ответа — и оба реализуются.

Интервью

Этот пост не о геометрии и даже не о математике :)
Дело в том, что завтра на радио Калина Красная в прямом эфире у меня будут брать интервью. Там наверняка будет разговор о стихах и музыке, немного о математике и кто знает о чём ещё. Во время этого разговора поставят записи нескольких моих песен — их тоже можно будет послушать.
Заходите, кому интересно!
P.S. В первом комменте фото из студии и фрагмент эфира

Серединные перпендикуляры

Эту мою задачку решали ученики 9 класса на олимпиаде Курчатова в марте. Не исключаю, что у нее можно найти решение на материале восьмого или даже седьмого класса. Попробуйте это сделать:)

ЕГЭ

Продолжаем рубрику подготовки ко второй части ЕГЭ по геометрии. На этот раз задача будет без плюса: она вполне соответствует задачам второй части этого экзамена как по формату, так и по своей сложности.
Как обычно, ответы пишите в комментариях.

Поступление в классы Матвертикали

На сайте ресурсного центра Матвертикали появилась информация о критериях поступления в классы проекта. Их можно посмотреть по этой ссылке.

Наименьший отрезок

Выкладываю очередную задачу на наименьшее значение. Из точки М на стороне треугольника светит прожектор, который освещает угол 60 градусов. Стороны светового угла пересекают две другие стороны данного треугольника в точках К и Е. Интуитивно понятно, что отрезок КЕ не может быть слишком коротким. Какова его наименьшая длина, если точка М движется по стороне АС треугольника АВС?

Наименьший отрезок. Решение.

Выкладываю решение задачи про наименьший отрезок, которое не использует методы вариаций или «малых шевелений». Таким же методом легко доказать, что радиус R описанной окружности любого треугольника всегда не меньше диаметра 2r его вписанной окружности. Подумайте, как это можно сделать:)

ЕГЭ+

Вот новая задача формата единого экзамена. Ее первый пункт не очень прост, но имеет красивое доказательство — попробуйте его найти!
Ответы, как обычно, пишите в комментах.

Два квадрата

Выкладываю задачу про конфигурацию двух квадратов. Три их вершины лежат на сторонах друг друга. Интересно, что отношение площадей таких квадратов зависит лишь от угла между их сторонами. Чему равен этот угол, если площади квадратов относятся как 24:25?
Как относятся их стороны в общем случае?
Свои ответы пишите в комментах.

Два квадрата. Решение.

Выкладываю решение задачи с двумя квадратами. Интерес представляет формула для отношения сторон таких квадратов в зависимости от угла между ними. Несложно доказать, что данное отношение достигает своего минимума при угле в 45 градусов. Нам это потребуется в следующей задаче о переправе через канал с поворотом с помощью нескольких досок.
Продолжение следует.

Переправа через ров

Как переправиться через ров, поворачивающий под прямым углом, с помощью двух досок, которые короче ширины рва? Такая гениальная задача на смекалку хорошо известна. Интуиция подсказывает, что оптимальное положение досок симметрично относительно биссектрисы угла канала. Строго же это можно доказать, используя результат задачи с двумя квадратами предыдущего поста.
А что будет, если досок три или пять? Наверняка их длину тогда можно уменьшить. Какой длины хватит в каждом случае? Доски считаем равными отрезками, поэтому ищем систему таких отрезков, соединяющих края рва. Свои ответы и конфигурации пишите в комментах.

ЕГЭ

Продолжаем рубрику подготовки к Единому Экзамену по геометрии — до него остались считанные недели. Последние два года задачи второй части ЕГЭ стали немного проще и, скорее всего, в этом году их не будут усложнять.
Я предлагаю вам новую задачу в том же формате и примерно такой же сложности. Как обычно, свои ответы пишите в комментах.

Переправа через ров. Решение.

Выкладываю решение задачи о переправе через ров с помощью узких досок. Предлагаемая конструкция из пяти таких досок симметрична относительно биссектрисы угла рва и довольно легко считается. Для неё хватит досок с длиной 8 м 20 см. У меня нет уверенности, что это самый оптимальный вариант — такой вывод напрашивается из оптимальной конструкции для трех досок, которая несимметрична. Эту конструкцию с расчетами я выложу в следующем посте так как она более сложна и здесь не поместится. Продолжение следует.

Две пятерки

На связи админ канала = супруга Автора.

Две пятерки – 55 – ровно столько исполняется сегодня М.А. К сожалению, он встречает этот день на выходе из реанимации (опять). ((
Сейчас уже угрозы для жизни нет - такой вот подарок от судьбы. Если кто-нибудь захочет оставить поздравление под этим сообщением, юбиляр наверняка прочитает и будет рад.

Уверена, что в следующем учебном году канал возобновит работу и здесь опять будут появляться замечательные авторские задачи!

Друзья, спасибо!

Всем большое спасибо за поздравления - они очень поддерживают! Я уже вышел из больницы. К сожалению, пока мне надо избегать нагрузок, а осенью, надеюсь, будут появляться и новые задачи, и новые песни, и даже выйдет новый диск.
Смогу ли вести занятия в школе в следующем году - пока непонятно, но совершенно точно продолжу работу над учебником стереометрии.
В ближайшее время поделюсь своими старыми материалами для подготовки к ЕГЭ ))

Подготовка к ЕГЭ

Вот три задачи из моих материалов для подготовки к ЕГЭ. А тех, кто присоединился к каналу недавно, выкладываем обзор публикаций прошлого года.

- презентации к вебинару по геометрическим задачам профильного ЕГЭ: часть первая, вторая, четвертая и третья;
- презентация по стереометрическим задачам;
- Усложненные задачи формата ЕГЭ+ можно найти здесь (с решением), здесь (решение),а также здесь и здесь.

Переправа через ров. Решение.

Выкладываю решение задачи о переправе через ров ширины 10 м для трех досок минимальной длины. Удивительно, что эта задача сводится к уравнению 6 степени.