Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путем понимания. Они учатся каким-то другим способом – путем механического запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!
Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией. Я дал ему такую задачу: Вы взлетаете в ракете с часами на борту, а другие часы остаются на Земле. Задача состоит в том, что Вы должны вернуться, когда по земным часам пройдет ровно один час. Кроме того. Вы хотите, чтобы Ваши часы за время полета ушли вперед как можно больше. Согласно Эйнштейну, если взлететь очень высоко, часы пойдут быстрее, потому что, чем выше находишься в гравитационном поле, тем быстрее идут часы. Однако если Вы попытаетесь лететь слишком быстро, а у Вас только час в запасе и Вы должны двигаться быстро, чтобы успеть вернуться, то ваши часы из-за большой скорости замедлятся. Поэтому Вы не можете лететь слишком высоко. Вопрос сводится к следующему: по какой программе должны меняться скорость и высота, чтобы обеспечить максимальный уход вперед ваших часов?
Ассистент Эйнштейна довольно долго работал над этой задачей, прежде чем понял, что ответ – это просто свободное движение материи. Если Вы выстрелите вверх так, что время, необходимое снаряду, чтобы пролететь и упасть, составляет ровно час, это и будет правильное движение. Это – фундаментальный принцип эйнштейновской гравитации, гласящий, что для свободного движения собственное время максимально. Но когда я поставил задачу в такой форме – ракета с часами, – физик не узнал этого закона. Все произошло так же, как с парнями в кабинете черчения, но на этот раз это не был оробевший новичок. Значит, такой вид непрочных знаний может быть достаточно распространенным даже у весьма образованных людей.


воспоминания Р. Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")

Математика — часть физики. Отличие математики от других областей физики состоит в следующем: и та и другая наука экспериментальные, но физические эксперименты обычно стоят миллионы долларов, а математические — единицы рублей.


В.И. Арнольд (интервью каналу "Культура")

Однажды, желая спастись от сколопендр, я предложил поехать в лес на велосипедах, и мы направились к деревне Аксиньино. Посреди этой деревни стояла старая церковь, используемая как склад муки или зерна. Проехав через большую лужу, располагавшуюся на нашем пути посреди деревни перед церковью, я обернулся и увидел среди лужи упавшего Саню [прим.: племянник В.И. Арнольда, на момент рассказа ему 6 лет], а сверху его велосипед. Бабы, шедшие со склада с мешками, чуть не попадали от смеха — мешки, во всяком случае, они сбросили.

— Они надо мной издеваются, а я именно это ненавижу, — сказал Саня, и мы поехали к кладбищу, взбиравшемуся на холм, за которым начинался лес.

Но тут я увидел на кладбище две разрытые могилы и предупредил Саню, что будут похороны, и что нам предстоит пройти мимо разрытых могил:

— А это, если у кого много грехов, опасно — черти могут через могилу утащить в ад.

Тогда Саня попросил дать ему сперва немного подумать. Через несколько минут он решился:

— Пойдём!

Мы благополучно прошли всё кладбище. Погода портилась. Спускались чёрные тучи, дул ветер, падали первые капли дождя, вдоль поля наверху шёл странный чёрный человек с чёрным зонтом, но и он ничего плохого не сделал.

— Вот видишь, — сказал я Сане, — не такие уж у тебя страшные грехи.

— Неужели, — ответил Саня, — ты мог подумать, что я за себя боялся?


воспоминания В.И. Арнольда ("Истории давние и недавние")

Г: Одно время он (Хинчин) жил вместе со своим приятелем еще по Московскому университету, механиком, Власовым Николаем Алексеевичем в одной квартире. И вот Власов любил поспать, рано подниматься не любил. Однажды где-то к концу учебного года — Власов мне рассказывал как раз — ранним утром раздается стук в дверь. Оба они еще спали. Хинчин подошел к двери — спрашивают Власова. «Его нет!» — это Хинчин отвечает. Через полчаса — вновь стук. Опять отвечает Хинчин, что его нет.
Д: А тот спит.
Г: А тот спит. Этого тоже поднимают.
Третий раз стучат. Наконец: «Сколько вам раз говорить, его нет, он умер!» — Хинчин отвечает, да. Какая-то очень экспансивная студентка, оказывается, стучала, и она немедленно, услышав, что Власов умер, побежала в институт политехнический...
Д: ...и это раззвонила.
Г:...и раззвонила, что Власов умер. Более того, она сумела добиться, что на лестнице в вестибюле...
Д: Траурную доску повесили.
Г: ...траурное объявление было вывешено, да, что вот в такое-то время состоится траурный митинг. А где-то около часа или двух Власов должен был читать лекцию. Он всегда одевался с иголочки, с тросточкой ходил. Входит. «Кто ж это скончался? Власов?» А в это время секретарь учебной части спускалась с лестницы, и около дверей видит самого Власова, читающего это объявление. Падает в обморок. (Смеется.) В результате Власов, как галантный человек, помог ее довести до стула, усадили в кресло, приводил в чувство. Вот такой эпизод был.


воспоминания Б.В. Гнеденко об А.Я. Хинчине (интервью с В.Д. Дувакиным)

Начиная с гл. 4, мы, в основном, доказываем существование решений различных уравнений с частными производными, но при этом не выводим формулы, представляющие решения в явном виде. Наши усилия могут выглядеть как пустое расточительство сил, но ведь математики в определенном смысле не отличаются от богословов: существование того, что мы изучаем, — это для нас атрибут первостепенной важности. Но в отличие от богословов мы не можем полагаться в этом вопросе на слепую веру.


из учебника Л.К. Эванса "Уравнения с частными производными"

Математика вообще довольно объективная наука. Через некоторое время, достаточно скоро, выясняется, что такая-то новая идея далеко, действительно, идет, позволяет какие-то старые проблемы решать... Настоящее продвижение вперед в математике не теряется, своевременно находит признание в огромном большинстве случаев и в большей степени, чем в каких-либо других областях человеческого творчества... Математикам всегда хочется, чтобы математика была как можно более „чистой“, т. е. строгой, доказательной. Но обычно самые интересные реальные задачи бывают на этом пути недоступны. И тогда очень важно, чтобы математик сам умел находить приближенные, пусть нестрогие, но эффективно действующие пути решения задач. Я думаю, что мысль о том, что математика открывает путь к работе в самых различных смежных науках, вполне актуальна и для нового поколения... От самого математика зависит, останется ли его роль вспомогательной или он внесет в работу достаточно значительную свою собственную выдумку.


А.Н. Колмогоров

Водил Аню купаться и провожал ее на кукушку 19.30 перед санаторным ужином. По дороге на кукушку Аня спрашивала серьезно, люблю ли я ее.

Я сказал, что, если так злюсь и ругаюсь, то как раз потому, что люблю.


из дневника А.Н. Колмогорова, 9 августа 1943 г.

Пятницу, субботу и воскресенье
без положительных результатов размышлял о спектрах стационарных случайных функций и смежных вопросах. Купался, читал Гёте, Платона. Рисовал пингвинов и, вообще, лениво развлекался между делом.
Тратить так время досадно и, может быть, глупо, но и войти в непринужденные занятия настоящей наукой надо, а без таких непринужденных мечтательных дней это не выходит.
Читал Брэма о птицах и, как много раз раньше, предавался размышлениям о том, есть ли объективные основания считать птиц (даже с "духовной", но не специально "интеллектуальной" стороны!) ниже людей.

Как это ни смешно звучит, но иногда я недоумеваю серьезно.


из дневника А.Н. Колмогорова, октябрь 1943 года

Я могу жить с сомнением, неопределённостью и незнанием. Мне кажется, куда интереснее жить, не зная ответов, чем иметь ответы, которые могут оказаться ошибочными. [...] Учёные сделали сомнение своей «религией» — они требуют доказательств. Не знать — нормально. Свобода сказать «я не знаю» — это начало науки.


Ричард Фейнман, из лекции «The Pleasure of Finding Things Out» (1981), позже вошедшая в одноимённую книгу

позаимствовано из @lets_be_physicists

Но один из нас, мой приятель (прим. ред.: это был Борис Юнович; Б. Юнович погиб, сражаясь на фронте Второй Мировой войны между 1941 и 1942 г.), твердо решил, что он будет сдавать теорию определителей так называемую только Николаю Николаевичу Лузину, который жил на Арбате, дом двадцать пять, квартира восемь. И он пристал к нему: «Николай Николаевич, пожалуйста, пожалуйста, спросите меня». В конце концов Лузин сдался и сказал ему, чтобы он пришел к нему домой в назначенное время, вот, и он его спросит. А дальше произошло так, и это было забавно и характерно для Лузина. Когда этот приятель явился к нему домой, Лузин пригласил его к себе в кабинет и спросил: «Что вы читали?» Тот ему назвал некоторые весьма солидные руководства, которые по объему, вообще, превышали значительно программу.
Лузин сказал: «Ну, если вы прочитали такие книги, так мне вас и спрашивать нечего, вы знаете больше, чем требуется. Давайте зачетную книжку». Приятель не сдался. Он сказал: «Нет, я хочу, чтоб вы спросили». Лузин призадумался и спросил его: «Ну, а что вас более всего заинтересовало? Что вам там показалось заслуживающим внимания?» Приятель назвал одну из теорем. «Вот и хорошо, — говорит, — докажите мне эту теорему. Только, извините, меня ждет обед. Вы разрешите, я вас на полчаса оставлю, а вы приготовитесь». Он ушел, Николай Николаевич Лузин, приятель мой остался и стал писать на бумаге все, что он там должен был выписать. Полчаса прошло. Николай Николаевич явился, сказал: «Ну, давайте ваши бумаги». Листанул одну страничку, другую и сказал: «Ну, ведь я же вам говорил, что вы все превосходно знаете. Вы это уже доказали. Давайте зачетную книжку, можете идти».
Так мой приятель получил «весьма удовлетворительно» - «в.у».


воспоминания А.П. Юшкевича о Н.Н. Лузине

Среди учеников Фердинанда Линдемана (Carl Louis Ferdinand von Lindemann,1852-1939) были и великий математик Давид Гильберт, и великий геометр Герман Минковский (создатель геометрической теории чисел и той четырёхмерной геометрической модели, которая легла в основу теории относительности). Сам Линдеман совершил одно из величайших открытий в истории математики — доказал, что проблема квадратуры круга, о которой мы расскажем в главе 5, не имеет решения. Но Линдемана мы назвали здесь по совсем иной причине, нежели Куммера. Дело в том, что у него была жена. Ей оказалось недостаточно той всемирной славы, которую принесло мужу его открытие (вспомним «Сказку о рыбаке и рыбке»), и она заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Результатом были недостойные такого замечательного математика публикации с ошибочными доказательствами. Последнее из них относится к 1907 г., а его 66-страничная публикация состоялась в 1908 г. (читатель вскоре поймёт, зачем нам нужны эти даты). Вот уж точно «Не корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены», как говаривал в погоне за 12 стульями окарикатуренный Ильфом и Петровым несчастный иерей Фёдор Иванович Востриков. («Бывают странные сближения».) Корыстный мотив возникнет хотя и близко по времени, но всё же позже.


из книги В.А. Успенского "Апология математики"

Я однажды получил письмо от английского физика Майкла Берри (знаменитые ”фазы Берри”), который написал мне письмо — следствие нашего обсуждения приоритетных вопросов. И он написал, что эти обсуждения можно суммировать при помощи следующего принципа Арнольда: если какой-нибудь предмет имеет персональное наименование (например, Пифагоровы тройки или теорема Пифагора; Америка, например), то это никогда не бывает имя первооткрывателя. Это всегда имя какого-то другого человека. Америка не называется Колумбией, хотя открыл ее Колумб.

Кстати, почему Колумб открыл Америку? Это тесно связано с тем, что я только что рассказывал. Когда Колумб отправился к испанской королеве Изабелле проситься в экспедицию (он не собирался открывать Америку, он собирался открывать путь через Атлантический океан в Индию), то королева ему сказала: нет, нельзя. А дело было вот в чем. Через двести лет после египтян вопрос о размере Земли рассмотрели греки. Греки, пользуясь украденными Пифагором сведениями, знали про египетские измерения, но не верили египтянам (что это за измерения, какие-то верблюды, что это такое…). И они провели измерения заново. Они взяли триеру, корабль, который пересек Средиземное море с юга на север, от Александрии до острова Родос, померили путь, зная скорость корабля при сильном ветре, разность широт тоже можно померить, и получили новый размер (радиус) Земли. Но так как, конечно, египетский способ был надежным, потому что верблюды — это хороший счет расстояний, а скорость корабля при сильном ветре — это что-то такое неопределенное, греческая оценка была вдвое отличающейся от египетской. И греки это опубликовали и говорили, что египтяне уже мерили, но поскольку они слаборазвитый народ, то хорошо померить не смогли и получили Землю, которая вдвое меньше, чем настоящая; на самом деле у них ошибочные данные, а правильный размер Земли вдвое больше.

И поскольку вся греческая наука — Евклид, Пифагор, все это — распространилась потом повсеместно, в школе учили, то и королева Изабелла тоже думала, что Земля вдвое больше, чем она есть, и она сказала Колумбу: ”Ты не доплывешь до Индии, потому что ни в какой корабль не уместится столько бочек с водой, сколько нужно взять, чтобы проплыть такое большое расстояние”. Потому что очень далеко, а ничего по дороге нет (Америка не предполагалась). Колумб шесть раз к ней ходил и в конце концов каким-то образом избежал этих запретов и все-таки добрался.

Так вот, Берри пишет дальше: ”Но чтобы принципом Арнольда надежно пользоваться, нужно к нему добавить еще один очень важный принцип — принцип Берри. Принцип Берри таков: принцип Арнольда применим к самому себе”.

Конечно, несомненно, научные открытия воруют, воровали всегда и воруют.

(Из зала: И будут воровать!)


из доклада В.И. Арнольда "Нужна ли математика в школе?"

Я нимало не хулю алхимиста, ищущего [способ] превращать металлы в золото, механика, старающегося сыскать вечное движение (perpetuum mobile), и математика, домогающегося узнавать долготу мест, для того, что, изыскивая чрезвычайное, внезапно изобретают многие побочные полезные вещи. Такого рода людей должно всячески ободрять, а не презирать, как то многие противное сему чинят, называя такие упражнения бреднями.


Петр I, из "Рассказы Нартова о Петре Великом", Нартов А. К.