Теорема Сильвестра-Галлаи утверждает, что для любого конечного числа точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, существует прямая, проходящая ровно через две точки данного множества.

Разумно сформулировать аналогичный вопрос для пространства:

Верно ли, что для любого конечного числа точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, существует плоскость, проходящая ровно через три неколлинеарные точки данного множества?

Интересно, что ответ здесь отрицательный. Попробуйте придумать какие-то контр-примеры.

ABCD квадрат, O его центр, BE=BF. Доказать, что точки CKLON лежат на одной окружности.

// задача M2826 из Кванта, предложил А.Палеев (9 кл.)

Дан треугольник ABC. Через вершины A и C проводится произвольная окружность omega, пересекающая стороны AB и CB в точках C_1 и A_1. Точки A_2 и C_2 симметричны точкам A_1 и C_1 относительно середин сторон BC и BA. Докажите, что описанная окружность треугольника BA_2C_2 проходит через фиксированную точку, отличную от В, не зависящую от выбора omega.

Геометрические 3d монеты Сомали. На каждой монете изображен герб Республики Сомали, номинал - 1 доллар, размер - от 20 до 25 мм

Дана пирамида SA_1A_2...A_n, основание которой является выпуклым многоугольником A_1A_2...A_n. Для каждого i=1,2,...,n в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_ {i+1}, равный треугольнику SA_iA_{i+1} и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_{i+1}, что и основание. Докажите, что построенные треугольники покрывают все основание.

С Днём космонавтики!

Галактика Вертушка в форме логарифмической спирали

На плоскости дано 300 точек, никакие 3 которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся треугольников с вершинами в этих точках. Верно ли это утверждение в пространстве?

Интересные оригами

https://youtu.be/ThwuT3_AG6w?si=Cg0M9RHnFeW2kCmC

1) Существует ли тетраэдр, основания высот которого не принадлежат граням?
2) Существует ли выпуклый многогранник и точка внутри такая, что основания всех перпендикуляров, опущенных из нее на грани, не принадлежат граням?

Задача 9-10.8 с второго дня всеросса.
Красные чевианы равны между собой и равны черным.
Докажите, что периметры красного и черного треугольника равны.

Сюжет про первый вопрос о высотах тетраэдра:

https://etudes.ru/sketches/tetrahedron-altitude/

Навес рядом с метро Ботанический сад. Проект компании "Несущие системы" из Новосибирска.

Математический кружок на Matema‑фесте

Ещё один блок Matema‑феста — четыре лекции в свободном, интерактивном формате. Это альтернатива мини-лекциям: без сцены, меньше дистанции, больше общения с залом. Вместе будем разгадывать фокусы, решать задачи, обсуждать наблюдения и выводы. Всё серьёзно — но легко, увлекательно и чуть ближе к кружку, чем к TED-току.

🔸 Математические фокусы — Аскар Назмутдинов и Александр Кореневский
🔸 Топ 8 легендарных задач по математике — Максим Карсаков
🔸 Поверхности, содержащие прямые и окружности — Федор Нилов
🔸 Ложь, большая ложь и статистика — Игорь Эльман

Эта часть фестиваля пройдет с 17:30 до 20:00.
Чем ближе к фестивалю, тем больше добавляется событий. Следите за обновлениями в расписании)

Приходите на фестиваль! Будет интересно!
Билеты

Дан треугольник ABC и точка M внутри. Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABM, BCM, ACM пересекаются в одной точке, если M - это a) ортоцентр ABC; b) точка Торричелли ABC. Для каких других замечательных точек верно данное утверждение?

Друзья, 26 апреля стартует Шестой Сезон Кубка ЛФИ!

О том, что такое Кубок, как он проходит и почему в нём надо обязательно участвовать, вы можете узнать из видеоприглашения от Леонида Модестовича.

От себя добавим, что в жизни бывают моменты, которые сложно описать, но ты часто возвращаешься к ним и вспоминаешь их с неизменными теплыми чувствами. Кубок ЛФИ — это и есть такой момент. Его нужно прожить, прочувствовать и он обязательно останется навсегда с вами в вашей памяти.

И у вас есть отличная возможность к нему присоединиться: https://lpr-olimp.ru

В добрый Путь,
искренне ваше Жюри Кубка ЛФИ

На плоскости даны семейство красных и семейство синих прямых. Известно, что в каждом семействе нет параллельных прямых. Зафиксируем некоторый угол. Для каждой синей прямой выберем (в случае, если это возможно) красную прямую, пересекающую ее под данным ориентированным углом, и отметим точку пересечения. Оказалось, что для любого угла все точки пересечения красных и синих прямых (пересекающимися под данным углом) лежат на одной окружности. Как могут быть устроены семейства красных и синих прямых? Например, это могут быть два пучка прямых. Я знаю еще только два примера.

Добрый день. Во вторник, 29 апреля в 15:30-16:30 по Москве, будет математический кружок 🟢

Title: Самозаклинивающиеся структуры

Speaker: Ф. K. Нилов

Аннотация:

Известно, что если на плоскости имеется конечный набор выпуклых фигур, внутренности которых не пересекаются, то среди этих фигур имеется хотя бы одна крайняя - такая, которую можно непрерывно передвинуть “на бесконечность” (за пределы большого круга, содержащего остальные фигуры), оставляя все остальные фигуры неподвижными и не пересекая их внутренности в процессе движения.

А что происходит в пространстве? На первый взгляд кажется, что должны быть справедливы аналогичные утверждения. Например, их можно доказать в частном случае, когда все тела являются шарами (для произвольной размерности). Однако в общем случае оказывается, что в пространстве имеет место феномен самозаклинивающихся структур. Самозаклинивающаяся структура — такой (конечный или бесконечный) набор выпуклых тел с непересекающимися внутренностями, что если зафиксировать все, кроме любого одного, оставшееся нельзя “унести на бесконечность”, не пересекая внутренности других тел в процессе движения.

Мы обсудим уже известные и новые стуктуры, построенные совсем недавно.


Zoom meeting link:
Zoom - Meeting ID: 853 1771 8785 Passcode: 549695
Link: https://us02web.zoom.us/j/85317718785?pwd=XS0bILZaREyt00pA2EJlu1zxaEHbDN.1

Приходите!