Геометрия-канал

Forwarded from ppetya

Вчера Гриша Мерзон рассказал замечательное.

Есть теорема «о трех колпаках», замечательная. Теорема эта такая. На плоскости даны три окружности различных радиусов, лежащих снаружи друг-друга. Для каждой пары окружностей из этой тройки проведем внешние касательные, которых тоже две штуки. Эти две касательные пересекутся в точке. Так вот, утверждение теоремы состоит в том, что эти три точки лежат на одной прямой.

Одно из доказательств (вернее идея) таково: надо выйти в пространство — рассмотреть не окружности, а сферы с теми же центрами. Дальше надо положить на эти три сферы плоскость (если это возможно!) пересечение исходной плоскости и положенной плоскости есть нужная прямая.

А вот что рассказал Гриша, пересказывая Бибикова. доказательство (тоже идея) при помощи геометрии Лобачевского.

Оказывается (то есть это простая теорема), две окружности (одна вовне другой) в модели Пуанкаре (на верхней полуплоскости) равны, то есть совмещаются движением если и только если их внешние касательные пересекаются на абсолюте (возможно в бесконечно-удаленной точке)! Тут правильно сказать, что окружности в модели Пуанкаре это обычные евклидовы окружности в верхней полуплоскости (только радиусы их никак не связаны).


В доказательстве главную роль играет то, что гомотетия с центром на абсолюте есть движение плоскости Лобачевского.

Теперь «три колпака» — если есть три окружности, то выберем произвольным образом две разные пары из них (конечно эти пары пересекутся по одной окружности).

Рассмотрим две пары внешних касательных, построенных по выбранным парам окружностей — каждая пара касательных пересечется в какой-то точке (считаем их не бесконечно-удаленными). Проведем через эту пару точек прямую. Назначим ее абсолютом! Тогда окружности из первой и второй пары равны. Значит, равны окружности и из третьей пары, которую мы не рассматривали. Значит, соответствующие внешние касательные тоже пересекаются на абсолюте.

Прекрасное рассуждение, только в нем та же проблема, что и с первым доказательством. Если назначить эту прямую абсолютом, то не верно, вообще говоря, что все три окружности окажутся в одной полуплоскости (которая плоскость Лобачевского). Поэтому, как и в первом доказательстве правильно «выйти в комплексную область». А это почти общематематическая идея.

👍11🤔3❤1👎1

www.group-telegram.com/us/geometrykanal.com/2122

6.4K viewsНаталья Нетрусова, May 5, 2023 at 10:58

Вчера Гриша Мерзон рассказал замечательное.

Есть теорема «о трех колпаках», замечательная. Теорема эта такая. На плоскости даны три окружности различных радиусов, лежащих снаружи друг-друга. Для каждой пары окружностей из этой тройки проведем внешние касательные, которых тоже две штуки. Эти две касательные пересекутся в точке. Так вот, утверждение теоремы состоит в том, что эти три точки лежат на одной прямой.

Одно из доказательств (вернее идея) таково: надо выйти в пространство — рассмотреть не окружности, а сферы с теми же центрами. Дальше надо положить на эти три сферы плоскость (если это возможно!) пересечение исходной плоскости и положенной плоскости есть нужная прямая.

А вот что рассказал Гриша, пересказывая Бибикова. доказательство (тоже идея) при помощи геометрии Лобачевского.

Оказывается (то есть это простая теорема), две окружности (одна вовне другой) в модели Пуанкаре (на верхней полуплоскости) равны, то есть совмещаются движением если и только если их внешние касательные пересекаются на абсолюте (возможно в бесконечно-удаленной точке)! Тут правильно сказать, что окружности в модели Пуанкаре это обычные евклидовы окружности в верхней полуплоскости (только радиусы их никак не связаны).


В доказательстве главную роль играет то, что гомотетия с центром на абсолюте есть движение плоскости Лобачевского.

Теперь «три колпака» — если есть три окружности, то выберем произвольным образом две разные пары из них (конечно эти пары пересекутся по одной окружности).

Рассмотрим две пары внешних касательных, построенных по выбранным парам окружностей — каждая пара касательных пересечется в какой-то точке (считаем их не бесконечно-удаленными). Проведем через эту пару точек прямую. Назначим ее абсолютом! Тогда окружности из первой и второй пары равны. Значит, равны окружности и из третьей пары, которую мы не рассматривали. Значит, соответствующие внешние касательные тоже пересекаются на абсолюте.

Прекрасное рассуждение, только в нем та же проблема, что и с первым доказательством. Если назначить эту прямую абсолютом, то не верно, вообще говоря, что все три окружности окажутся в одной полуплоскости (которая плоскость Лобачевского). Поэтому, как и в первом доказательстве правильно «выйти в комплексную область». А это почти общематематическая идея.

BY Геометрия-канал