https://knotplot.com/zoo/

картинки по выходным (по ссылке на каждый узел/зацепление можно нажать и покрутить в трехмерном пространстве)

https://youtu.be/8CksuEk2jJQ

Mathologer рассказывает про планиметр из топора

то, как работает планиметр, тесно связано с “велосипедной теоремой”

про нее можно посмотреть последний сегмент из ролика выше или прочитать в журнале Квантик (статья «Пифагор на велосипеде»; см. тж. краткие объяснения в «Мат. байках»)

http://ashap.info/Knigi/Matkruzhki/21-IndukBF.html

«Математическая индукция не входит в школьную программу. Однако стоит хоть немного продолжить изучение математики: в матклассе, на кружках, в вузе — индукция тут как тут. Но вот парадокс: из тех, кто изучал её, умеют пользоваться немногие. А.Д.Мышкис, преподававший математику в хороших инженерных вузах, отмечал, что «студенты не понимают доказательств по индукции, они в них не верят»!

(…)

Итак, в чем же проблемы преподавания индукции? Сложность не в том, что в ней много составляющих. Хуже то, что достаточно заметная часть этих составляющих преподавателями не осознается.

Первое: суть индукции мало похожа на её форму. Н[ачинающий] П[реподаватель] уверен, что форма и есть суть, и индукция и в самом деле состоит только из базы и перехода. Его восхищает идея: произносишь рассуждение названное «индукционный переход» — и утверждение мгновенно становится верным для всех значений n. Но на взгляд ученика это как одним заклинанием из студии зарядить воду у всех телезрителей. Как результат, действия так обученных школьников по сути сводятся к произнесению заклинаний. В стандартных случаях эти заклинания мало отличаются от правильных рассуждений, и НП засчитывает их за правильное решение. В чуть менее стандартных задачах часть нужных слов не произносится, но на ответ это не влияет, поэтому решение засчитывается, но с оговорками и снижением баллов. В мало-мальски нестандартных задачах решение обваливается, и НП выносит вердикт «Ученики тупые, на такие задачи с ними время тратить не стоит».

На деле суть индукции проста: на высоту легче не запрыгивать и не взлетать, а восходить по ступенькам лестницы. Обычно лестница едва намечена или её нет, тогда придётся её найти, принести и самому установить, а в сложных случаях и самому построить. Строить можно и нужно как удобнее: снизу вверх, сверху вниз, даже с двух сторон навстречу, и т.п.

Стандартное обучение учит ходить только по готовым лестницам («увидел n — доказывай по индукции») . Поэтому хочется, конечно, научить видеть место для лестницы, видеть ступеньки и прилаживать их друг к другу. Увы, так поставленная цель неконкретна и школьниками не воспринимается.

(…)

Без многослойной подушки задачной и математической культуры сложное понятие индукции не уложится и не закрепится в голове ученика, как не лягут рельсы на грунт без насыпи. (…) Перечислим нужные навыки, пока без привязки к индукции.
1) Строить большие конструкции с использованием повторяющихся элементов и блоков.
2) Находить закономерность в последовательности чисел или объектов.
3) Пошагово, от объекта к объекту, распространять неизменное свойство (инвариант) на некоторое множество объектов.
4) Включать отдельную конструкцию или задачу в серию однотипных, отличающихся лишь значением параметра, исследовать случаи малых значений параметра и переносить замеченные закономерности на случаи больших значений.
5) Следить за развитием процесса с помощью выбора удобного параметра-счётчика, игнорирующего несущественные подробности и предсказуемо меняющегося на каждом шаге; уметь организовывать нужный процесс.
6) Строить конструкции пошагово, составляя её из наглядных добавок и выбирая очередную добавку в зависимости от текущего состояния.
7) Строить конструкцию постепенно, проходя через промежуточные “частичные” конструкции, не являющиеся полноценными меньшими примерами.
8) Находить связь сложного “серийного” объекта с его предшественником, выстраивать конструкции и цепочки доказательств “сверху вниз”, сводя сложное к более простому.»

(фрагмент предисловия «Индукции без формальностей» А.В.Шаповалова)

Характеристические классы

Как начинать изучение характеристических классов?
Какие источники дают достаточный объем знаний по этой теме?
Вопрос очень сложный, зависит от индивидуальных предпочтений и, скажем честно, природных склонностей.

Характеристический класс определенным образом ставит в соответствие векторному расслоению класс в подходящих когомологиях базы расслоения.

Обычно первым делом рассматривают
● классы Штифеля-Уитни вещественных расслоений;
● классы Чженя (Черна) комплексных расслоений;
● классы Понтрягина вещественных ориентированных расслоений.

Затем обсуждается характер Черна — естественное преобразование комплексной топологической К-теории в рациональные когомологии.

Можно (и нужно!) рассматривать характеристические классы со значениями в экстраординарных теориях когомологий
(в К-теории и подходящих кобордизмах) базы расслоения, можно, например, встретить «классы Коннора-Флойда»
Важно, что имеется более-менее универсальный подход к построению характеристических классов в разных теориях когомологий.

Кроме того, характеристические классы возникают и в других важных контекстах, не обязательно топологических (класс Маслова, классы для слоений и многое-многое другое).

● Классический учебник
Дж.Милнор, Дж. Сташеф. "Характеристические классы», 1973
● До сих пор незаконченная книга
A.Hatcher «Vector Bundles and K-Theory»
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf
● Записки по лекциям П. Мэя и семинарам Р. Брюнера
https://www.math.uchicago.edu/~may/CHAR/charclasses.pdf
● Записки лекций Arun Debray
https://adebray.github.io/lecture_notes/u17_characteristic_classes.pdf
● Краткое изложение
Mauricio Esteban G´omez L´opez «Introduction to Characteristic Classes»
https://web.math.ku.dk/~moller/students/mauricio.pdf

Подход с точки зрения комплексной геометрии

● Чжэнь Шэн-Шень «Комплексные многообразия» 1961
● Ф.Гриффитс, Дж.Харрис «Принципы алгебраической геометрии» 1982
● Daniel Huybrechts «Complex Geometry: An Introduction» Springer, 2005
● Andrei Moroianu «Lectures on Kähler Geometry» Cambridge University Press, 2007

Напишите в комментариях, какой подход вам ближе:
аксиоматический по Милнору-Сташефу, через ориентацию теории когомологий, через вычисление когомологий грассманианов, через теорию препятствий, через теорию Черна-Вейля? Предложите свой вариант ✍️

это не картинка по выходным, а название статьи https://arxiv.org/pdf/math/0506466 про формулу Бриона для сумм по целым точкам многогранников и всё такое (Matthias Beck, Christian Haase, Frank Sottile)

пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]

если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)

если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})

эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы

упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам

по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье

всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров

картинки по выходным: окружность двулистно накрывает окружность

(Николай Силис. Зеленая спираль; ГТГ)

https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k

большое интервью Тао

расшифровка:
https://lexfridman.com/terence-tao-transcript

edu.sirius.online

напомним про дист. курсы Сириуса по математике и другим наукам

в т.ч. доп. главы алгебры, геометрии и комбинаторики… теория вероятностей, мат. анализ и линейная алгебра… и многое другое от анатомии и морфологии до введения в машинное обучение

бесплатно и для всех желающих; видеолекции и конспекты, упражнения и задачи

https://youtu.be/9DKe3PNRMYU

лекция Валентины Кириченко «Теорема шансов и разборчивая невеста» (закрытие Московской математической олимпиады 18.05.25)

Игральную кость бросают сто раз. Если выпадает шестёрка, то игрок может либо предсказать, что больше шестёрка не выпадет, либо промолчать. Игрок выигрывает, если его предсказание сбывается. Какой стратегии нужно придерживаться, чтобы вероятность победы была максимальной? На вопросы такого типа отвечает теорема шансов, доказанная Бруссом в 2000 году. Мы обсудим теорему Брусса и её доказательство, а в качестве приложения решим известную задачу о разборчивой невесте.

https://mccme.ru/free-books/dubna/protasov-sinfrac.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Синусоида и фрактал: Элементы теории обработки сигналов и теории всплесков» В.Ю.Протасова по его лекциям на ЛШСМ

«Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория.

В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам. Поиск новых конструкций, превосходящих ряды Фурье, оказался непростой задачей. Над этим трудилось не одно поколение математиков: функции Хаара, система Шеннона-Котельникова, всплески Мейера и Добеши, …. Новые функции уже не задаются явными формулами, а строятся как решения специальных уравнений. Они не являются гладкими, а, напротив, имеют свойства фракталов и самоподобных фигур. Сейчас они используются повсеместно при работе с фото, аудио и видео файлами, в компьютерной томографии, и т.д. Но математическая теория не стоит на месте…»

можно также купить книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/46814

картинка по выходным —
графики sin((1-v)·x) - sin(v·x + pi/3)
( Dani Laura. Into the deep, https://mathstodon.xyz/@DaniLaura/114647384998990087 )

к 85-летию со дня рождения Квиллена (22.06.1940–30.04.2011) напомним такую статью про него

http://www.ams.org/notices/201210/rtx121001392p.pdf

вот такая статья про кобордизмы и формальные группы пусть здесь будет, например

https://arxiv.org/abs/math/9307231

B.Mazur. On the passage from local to global in number theory

«Would a reader be able to predict the branch of mathematics that is the subject of this article if its title had not included the phrase “in Number Theory”? The distinction “local” versus “global”, with various connotations, has found a home in almost every part of mathematics, local problems being often a stepping-stone to the more difficult global problems.

(…)

Here are two types of questions in Number Theory one might want to pursue by passing from local to global:

Type (A). Questions about rational points. Given a Diophantine equation or a system of Diophantine equations with coefficients in Q, when does knowledge about its rational solutions over the collection of local fields Q_p for all prime numbers p, and over R, give us some palpable information about its solutions over Q? (…) The question of existence of solutions of systems of Diophantine equations over R or over Q_p is “certifiably easy”; at least it is a decidable question in the sense of mathematical logic. (…)

Type (B). Passing from knowledge about local “structures” to knowledge about global “structures”. There is a wealth of literature on various aspects of questions of type (A). One cannot, really, effectively “separate” questions of type (A) from questions of type (B), but the central aim of this article is to discuss an exciting development (finiteness of certain Tate-Shafarevich groups), which is conveniently expressed in the language of (B).»

https://mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» В.А.Васильева по его рассказам на ЛШСМ

«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.

В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»

можно также купить бумажную книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/74704

https://www.mathedu.ru/text/mo_1998_1/p70/

интервью Н.Н.Константинова

(некоторые другие можно найти на странице https://old.mccme.ru/edu/index.php%3Fikey=konst.html — но данного там как раз нет)