это не картинка по выходным, а название статьи https://arxiv.org/pdf/math/0506466 про формулу Бриона для сумм по целым точкам многогранников и всё такое (Matthias Beck, Christian Haase, Frank Sottile)

пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]

если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)

если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})

эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы

упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам

по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье

всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров

картинки по выходным: окружность двулистно накрывает окружность

(Николай Силис. Зеленая спираль; ГТГ)

https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k

большое интервью Тао

расшифровка:
https://lexfridman.com/terence-tao-transcript

edu.sirius.online

напомним про дист. курсы Сириуса по математике и другим наукам

в т.ч. доп. главы алгебры, геометрии и комбинаторики… теория вероятностей, мат. анализ и линейная алгебра… и многое другое от анатомии и морфологии до введения в машинное обучение

бесплатно и для всех желающих; видеолекции и конспекты, упражнения и задачи

https://youtu.be/9DKe3PNRMYU

лекция Валентины Кириченко «Теорема шансов и разборчивая невеста» (закрытие Московской математической олимпиады 18.05.25)

Игральную кость бросают сто раз. Если выпадает шестёрка, то игрок может либо предсказать, что больше шестёрка не выпадет, либо промолчать. Игрок выигрывает, если его предсказание сбывается. Какой стратегии нужно придерживаться, чтобы вероятность победы была максимальной? На вопросы такого типа отвечает теорема шансов, доказанная Бруссом в 2000 году. Мы обсудим теорему Брусса и её доказательство, а в качестве приложения решим известную задачу о разборчивой невесте.

https://mccme.ru/free-books/dubna/protasov-sinfrac.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Синусоида и фрактал: Элементы теории обработки сигналов и теории всплесков» В.Ю.Протасова по его лекциям на ЛШСМ

«Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория.

В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам. Поиск новых конструкций, превосходящих ряды Фурье, оказался непростой задачей. Над этим трудилось не одно поколение математиков: функции Хаара, система Шеннона-Котельникова, всплески Мейера и Добеши, …. Новые функции уже не задаются явными формулами, а строятся как решения специальных уравнений. Они не являются гладкими, а, напротив, имеют свойства фракталов и самоподобных фигур. Сейчас они используются повсеместно при работе с фото, аудио и видео файлами, в компьютерной томографии, и т.д. Но математическая теория не стоит на месте…»

можно также купить книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/46814

картинка по выходным —
графики sin((1-v)·x) - sin(v·x + pi/3)
( Dani Laura. Into the deep, https://mathstodon.xyz/@DaniLaura/114647384998990087 )

к 85-летию со дня рождения Квиллена (22.06.1940–30.04.2011) напомним такую статью про него

http://www.ams.org/notices/201210/rtx121001392p.pdf

вот такая статья про кобордизмы и формальные группы пусть здесь будет, например

https://arxiv.org/abs/math/9307231

B.Mazur. On the passage from local to global in number theory

«Would a reader be able to predict the branch of mathematics that is the subject of this article if its title had not included the phrase “in Number Theory”? The distinction “local” versus “global”, with various connotations, has found a home in almost every part of mathematics, local problems being often a stepping-stone to the more difficult global problems.

(…)

Here are two types of questions in Number Theory one might want to pursue by passing from local to global:

Type (A). Questions about rational points. Given a Diophantine equation or a system of Diophantine equations with coefficients in Q, when does knowledge about its rational solutions over the collection of local fields Q_p for all prime numbers p, and over R, give us some palpable information about its solutions over Q? (…) The question of existence of solutions of systems of Diophantine equations over R or over Q_p is “certifiably easy”; at least it is a decidable question in the sense of mathematical logic. (…)

Type (B). Passing from knowledge about local “structures” to knowledge about global “structures”. There is a wealth of literature on various aspects of questions of type (A). One cannot, really, effectively “separate” questions of type (A) from questions of type (B), but the central aim of this article is to discuss an exciting development (finiteness of certain Tate-Shafarevich groups), which is conveniently expressed in the language of (B).»

https://mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» В.А.Васильева по его рассказам на ЛШСМ

«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.

В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»

можно также купить бумажную книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/74704

https://www.mathedu.ru/text/mo_1998_1/p70/

интервью Н.Н.Константинова

(некоторые другие можно найти на странице https://old.mccme.ru/edu/index.php%3Fikey=konst.html — но данного там как раз нет)

https://arxiv.org/abs/1912.05740

Boris Khesin, Serge Tabachnikov. Fun Problems in Geometry and Beyond

«We discuss fun problems, vaguely related to notions and theorems of a course in differential geometry. This paper can be regarded as a weekend "treasure chest" supplementing the course weekday lecture notes. The problems and solutions are not original, while their relation to the course might be so.»

https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

текст про разные способы вычислить сумму обратных квадратов (Robin Chapman)

еще Эйлер вычислил сумму обратных квадратов и вообще все суммы zeta(2k):=sum 1/n^{2k}

ответ оказывается рациональным кратным π^{2k}, а коэффициент неожиданным образом связан с комбинаторикой перестановок

в 1990-е годы Калаби нашел замечательное элементарное доказательство этого факта (по сути используется только замена переменной в [многомерном] интеграле — и все сводится к подсчету объемов несложных многогранников)

вот понятный текст про это (Noam D. Elkies. On the Sums…)

https://youtu.be/d-o3eB9sfls

Еще одно видео от 3blue1brown — про маяки и сумму обратных квадратов.

в порядке картинок по выходным — лента Мёбиуса (скульптура Давида Беджаняна «Лента бесконечности»)

// фото: primeminister.am

Кобордизмы

Текст про (ко)бордизмы задержался по вполне понятной причине: в этой области получено очень много красивых и фундаментальных результатов, многие идеи оказались востребованы в других областях математики - про все это написаны книги и обзоры, но для получения адекватной картины недостаточно познакомиться лишь с одним таким источником.
Так что в обзорной части ограничимся тем, что доступно на русском языке.
https://telegra.ph/Kobordizmy-06-29 (продолжение в статье)