📘 Graph Edge Coloring: Vizing’s Theorem and Goldberg’s Conjecture
(Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization)

Если вы когда-нибудь задумывались, почему графы можно «раскрашивать» так, что не пересекаются рёбра одного цвета эта книга покажет всю глубину этой идеи.Здесь сходятся две легенды теории графов теорема Визинга и гипотеза Голдберга.
Книга соединяет классику и современность от строгих доказательств и улучшенных методов до неожиданных применений в частотных сетях и оптимизационных задачах.

Для тех, кто любит, когда в математике есть стиль, красота и логика.

💬 Ссылку на чтение и скачивание ищите в комментариях.

#GraphTheory #Combinatorics #Vizing #Goldberg #Math #Optimization #Wiley #ScienceBooks #BeautyOfMath

Встряхнём этот сияющий мир научных и не только истин, дорогие коллеги?

Пожалуй, одно из самых пугающих свойств в другом человеке - его непредсказуемость.

В основном в мире людей все придерживаются правил, что делает его предсказуемым и безопасным. Твой сосед, скорее всего, побоится убить тебя, как и ты его, опасаясь кары Божьей, морального падения, угрызений совести, тюрьмы - всего этого.

Но откуда эти правила, которые все считают непреложными?
Они похожи на аксиомы в математике.
Их истинность принимается без доказательств.

Потому что ... они действительно настолько неприкосновенно истинны? Ну, давайте уважим Николая Ивановича Лобачевского и не станем такую чушь пороть. (Он доказывал от противного, что параллельные прямые никогда не пересекутся. А прямые ему ответили, что впринципе не так уж сильно против - и пересеклись!)

Аксиомы - всего лишь начальные, исходные утверждения. Нам НЕОБХОДИМО принять их истинными. Потому что мы не умеем доказывать истинность ровно НИЧЕГО без существования предыдущего истинного.
Но мы же хотим что-то доказывать, да, куда без этого? Нам ещё внуков поучать в конце концов. Вот и решили что-то максимально несомнительное просто ПРИНЯТЬ истинным, без доказательств. "Крекс, фекс, пекс!"

То есть математики не справились с тем, чтобы взять откуда-то ИСТИНУ. Они просто назвали ею наиболее похожие на неё с их точки зрения утверждения. И покатили весело дальше доказывать истины.

А если вернуться к общечеловеческим истинам. К тем самым непреложным правилам.
Они-то откуда взялись? А давайте, ради смеха, уважим теперь всех математиков и не станем утверждать, что их кто-то обскакал, откопав реальную ИСТИНУ. Тогда МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ, что мы получили несомненные аксиомы человеческого бытия, так же расклеив ярлычки с надписью "ИСТИНА". И шагнули в такой прекрасный и почти детерминированный повсеместным следованием правилам человеческий мир!

С погрешностью на тех людей, которые этих правил не придерживаются. Но это уже совсем другая история...

#ёжик_пишет
#ёжик_предлагает_подумать
#ёжик_дискутирует

Топология: или почему кружка и бублик — одно и то же.

Привет, любители пошевелить извилиной! 🧠 Сегодня поговорим о топологии — самой гибкой и «резиновой» области математики. Если геометрия меряет углы и длины, то топология интересуется только одним: что связано, а что нет. Представьте, что все объекты сделаны из бесконечно эластичного пластилина. Их можно мять, растягивать, скручивать, но НЕЛЬЗЯ рвать и склеивать.

С этой точки зрения, кружка и бублик — это одно и то же! 🤯

Почему? У обеих фигур есть ровно одна «дырка»: у кружки — в ручке, у бублика — посередине. Всё остальное (толщина, изогнутость) топологию не волнует. А вот сфера (например, мяч) — уже совсем другой объект, у нее дырок нет.

«Ну и что? — спросите вы. — Где тут реальное применение, кроме запугивания студентов-математиков?» А вот где!

🔥 Неочевидные применения топологии в жизни:

1. Биология и медицина: ДНК и белки
Представьте длинную молекулу ДНК.Чтобы поместиться в крошечном ядре, она тысячекратно сворачивается и закручивается. Топология помогает понять, как эти узлы и зацепления влияют на считывание генетической информации. Ученые-топологи даже разрабатывают лекарства, которые могут «разрезать» и «перезавязывать» молекулы ДНК у болезнетворных бактерий, убивая их.

2. Компьютерная графика и анимация
Когда ваш любимый персонаж в мультфильме плавно меняет выражение лица,его 3D-модель не рвется и не склеивается — она лишь плавно деформируется. Алгоритмы, отвечающие за это, часто используют топологические принципы, чтобы гарантировать, что поверхность останется «целой» и без артефактов.

3. Анализ данных и Big Data
Современные данные — это часто не таблички, а сложные «облака» точек в многомерном пространстве. Топологический анализ данных (ТАД) позволяет находить в этих облаках скрытые структуры, «дыры» и «циклы». Например, так можно обнаружить ранее неизвестные группы клиентов или выявить скрытые закономерности в финансовых рынках.

4. Робототехника
Чтобы робот-манипулятор не запутался в собственных проводах и приводах,инженеры анализируют его кинематику с помощью топологии. Это помогает спланировать такие движения, при которых «пространство конфигураций» робота не будет иметь «запрещенных» петель и узлов.

5. Поисковые системы
Да-да, даже ваш Google пользуется топологическими идеями! Ранние алгоритмы PageRank, которые ранжируют страницы в поиске, по сути, анализируют «связность» гигантской паутины (веб-графа). Чем больше связей (ссылок), тем «важнее» узел (страница).

Вывод: Топология — это не про абстрактные игрушки для гиков. Это мощный инструмент, который позволяет видеть суть вещей, отбрасывая неважные детали. Она показывает, что на самом глубоком уровне многие, казалось бы, разные вещи — устроены одинаково.

---

А приходилось ли вам применять топологию в жизни?
Делитесь историями в комментариях!

#топология #ёжик_пишет #ёжик_рекомендует

Доброго времени суток!
Предлагаю подумать над следующими задачами.

UPD Из третьего пункта непосредственно следует, что алгебра гладких функций многообразия M помнит про точки многообразия M!

UPD 2.0 R-Alg - категория R-алгебр

#ёжик_предлагает_подумать
#предложка_ёжика

Недавно мне на глаза попалась занимательная статья, посвящённая стабильности звёздных скоплений (https://www.astronet.ru/db/msg/1188763). В вопросе устойчивости гравитационно связных систем есть ещё множество белых пятен, начиная с того, что нет точного ответа на вопрос: а устойчива ли солнечная система?
При большом количестве тел в гравитационной системе со временем появляются отдельные кластеры, а в распределении тел начинает проявляться фрактальный характер. Но когда мы имеем дело с множеством объектов, чьи начальные положения и скорости мы не можем рассчитать с достаточной точностью, не имеет смысла формулировать точные критерии устойчивости, опирающиеся на изменение фазового объёма при заданных начальных условиях. В таких условиях (как впрочем, и в большинстве задач астрономии), куда полезнее сформулировать количественные и статистические параметры, которые бы давали оценку на время релаксации и позволили сделать приблизительные оценки устойчивости системы. К этой проблеме можно подступиться и с другой позиции. Исследовать имеющиеся симметрии в звёздных скоплениях (причём, для этого есть наблюдаемые предпосылки: шаровые скопления являются более устойчивыми объектами, чем рассеянные).

Средняя скорость убегания из рассеянного скопления часто ниже средней кинетической энергии звёзд, что приводит к их постепенному рассеянию. Время жизни таких скоплений, как правило, составляет порядка нескольких миллионов лет, после чего они теряют связность и звездные компоненты разбегаются на большие расстояния. В качестве практического рассмотрения этого вопроса представляю вам симуляцию движения звёзд, расположенных на вершинах Платоновых тел (икосаэдр и додекаэдр), где начальные скорости соответствуют теореме о вириале, а векторы скоростей направлены симметрично относительно центра масс (все массы в симуляции одинаковы). Из полученной картины прекрасно видно разделение «скопления» на отдельные группы, которое наблюдается при исследовании реальных звёздных скоплений.

https://vk.com/video-186208863_456244439
https://vk.com/video-186208863_456244438

#видео_ролики
#ёжик_развлекается
#ёжик_дискутирует

Доброго времени суток, дорогие читатели! Сегодня предлагаю вам познакомится с творчеством замечательно автора Бена Орлина. Его книги предназначены для людей всех возрастов и статусов: от школьников, увлекающихся математикой, до серьезных докторов наук, желающих немного отдохнуть от сухих текстов.

📌"Время переменных. Математичечкий анализ в безумном мире"— веселая книга о математике вокруг нас. Двадцать восемь увлекательных рассказов, посвященных разным аспектам математики, сопровождаются забавными авторскими рисунками.

🧣Об авторе. Бен Орлин - автор научно-популярных книг и блога о математике. Окончил Йельский университет, преподавает математику в средней школе, читает лекции в колледжах и университетах Соединённых Штатов, освещает различные математические вопросы в изданиях.
Математический анализ для Орлина — это универсальный язык, способный выразить все, с чем мы сталкиваемся каждый день, — любовь, риск, время и, самое главное, постоянные изменения. В своих книгах автор выявляет связи между матанализом, искусством, литературой и любимой собакой по имени Элвис.

📕Книга "Время переменных" -исследование точек соприкосновения математического анализа и повседневной жизни, дополненное "дурацкими" рисунками. Это не просто математика ради математики, это математика, делающая нас мудрее и внимателенее.

🎈Вечная проблема, с которой сталкиваются заинтересованные школьники при изучении математики, это непонимание откуда чего берется и с чем это едят. В школьном курсе нас знакомят с производной: производная показывает скорость изменения функции в конкретной точке. Дальше мы начинаем считать производные. Вот вам табличка, вот примеры. Но как появилась эта табличка? На матфаках объясняют, но довольно заумным языком, из-за чего большая часть студентов так ничего и не понимает.
Бен Орлин в одной главе показывает, как появилась таблица производных. Давайте и с вами рассмотрим.

Начнем с возведения в квадрат и умножим x на x - представим все это в форме квадрата. Производная - скорость изменения функции. Зададим вопрос: если немного изменить x, то как изменится x^2? Что ж, увеличим x на небольшую величину, названную dx.
При этом рост x^2 произойдет в трёх областях: по длине, по ширине (каждый x увеличится на dx) и в крошечном квадратике между этими областями (dx на dx). dx - стремящаяся к нули величина меньше любого известного числа. Что же тогда представляет собой этот квадратик равный dx^2? Бесконечно малое от бесконечно малого... Такое малое, что могло бы быть нулём... Да пусть нулём и будет. На сколько же тогда вырастет x^2? Он вырастет на два прямоугольника (dx*x) - по ширине и по высоте. Что в 2x раз больше первоначального dx.

Производная куба - тот же принцип. Позволим вырасти x на небольшую величину dx. У нас появилось много новых областей: три плоских квадрата с бесконечно малой глубиной, три узких палочки с бесконечно малой глубиной и шириной, а в углу сам по себе бесконечно малый кубик. Снова примем за ноль всю эту кучу бесконечно малых и получим, что наш изначальный куб вырастет на три плоских квадрата = в 3x^2 больше первоначального dx.
Вот откуда взялась таблица производных.

P.s. в книге все эти действия проиллюстрированы забавными рисунками. А для тех, кому скучно, автор предлагает нарисовать тессеракт в четырёх измерениях для x^4.

🖍Мне, человеку имеющему представление о матанализе, чтение далось легко. Но для школьников младше 10 класса посоветовала бы сначала ознакомится с другими книгами Бена Орлина: "Математика с дурацкими рисунками" и "Математические игры с дурацкими рисунками".
Читайте забавные книжки о математике, друзья!

Ещё в начале сентября наш дорогой подписчик, Глеб Гренкин предложил нам свой любопытный пост по алгебре логики, про метод резолюций. К сожалению, этот пост не был хорошо оформлен. Поэтому, затерялся в предложке, и мы отыскали его только сейчас. Публикуем, просим прощения у Глеба за долгое молчание, и предлагаем присылать нам новые интересные материалы! 😊

------------------------------------------------------------------
В учебниках метод резолюций в логике высказываний доказывается достаточно громоздко. Предлагаемый способ доказательства (если, конечно, в нем нет ошибок) понятнее.

#предложка_ёжика
#математическая_логика

📚Olav Kallenberg “Foundations of Modern Probability”

Представляю вашему вниманию один из самых полных и формально строгих учебников по современной мерно-теоретической теории вероятностей.

Калленберг выстраивает всю стохастическую теорию на едином языке измеримые пространства, вероятностные ядра, дизинтеграция мер, регулярные условные распределения, σ-конечность, слабая сходимость мер, топология Скорохода, мартингальные проблемы, полумартингалы, процессы Леви, случайные меры, меры Пальма, пуассоновские случайные меры, стохастическое исчисление Ито, диффузии и решения стохастических дифференциальных уравнений.

Главное достоинство книги строгая унификация формализма. Все объекты формулируются через меры и ядра, а стохастические процессы трактуются через марковские структуры, генераторы, характеристики приращений и операторные представления. Это исключает разночтения и делает книгу удобной для работы в областях, где требуется полный математический контроль стохастическое исчисление, диффузии, процессы Леви, теория сходимостей, стохастические модели в математической биологии и машинном обучении.

Структурно книга охватывает ключевые направления основы мерной теории и интеграла Лебега, классическую предельную теорию, условные распределения как дизинтеграции, общую теорию мартингалов, Markov и Feller-процессы через полугруппы и генераторы, гауссовские процессы и броуновское движение, процессы Леви через характеристическую тройку, функциональную сходимость в пространстве D[0,∞) с топологией Скорохода, эргодические теоремы, теорию случайных мер и точечных процессов, стохастическое исчисление.

Текст плотный и рассчитан на читателя, который уверенно владеет мерной теорией, функциональным анализом и теорией слабой сходимости. Учебник не даёт “мягких” объяснений, а предоставляет строгое и завершённое изложение современного стохастического аппарата.

В результате учебник фундаментальный, технически аккуратный и единообразный источник по всей мерно-теоретической вероятности, который закрывает практически весь необходимый спектр строгих стохастических конструкций.

#вероятность #стохастика #мера #теория_меры #martingales #markov_processes #леви_процессы #stochastic_calculus #SDE #functional_analysis #теория_вероятностей #measure_theory #probability #математический_анализ #random_processes #stochastic_processes #конвергенция #Skorokhod #diffusions #Ito_calculus #mathematics

Дорогие коллеги!

Опять суббота, и опять утренняя лекция по математическому анализу! Сегодня А.А. Никитин расскажет из видеостудии студии про основные понятия неопределённого интегрирования!

https://vkvideo.ru/video-186208863_456244459

НАЧАЛО: 10:30 МСК

Подключайтесь. Будет интересно 😊

#колючие_лекции
#математический_анализ_I

Недавно я вспомнил интересный сайт — Fallacy Detected. Его создали дизайнер Том Хайнс и иллюстратор Мишель Розенталь: образовательный плакат, созданный Мишель в 2017-м, усилиями Тома превратился в удобный онлайн-справочник по логическим ошибкам в 2020-м.

Давайте вспомним, какие бывают логические ошибки — и научимся замечать их в разговорах. Примеры ниже взяты с сайта Fallacy Detected, где два робота обсуждают людей: один, переживший неудачный опыт общения с человечеством, пытается доказать другому вред от сотрудничества с людьми, а второй каждый раз находит в его рассуждениях логическую ошибку.

Ошибка 1: Подмена тезиса («соломенное чучело»). Оппонент заменяет исходное утверждение более слабым или абсурдным, а потом легко опровергает его, создавая видимость победы. Название появилось из аналогии: спорят не с человеком, а с его соломенным чучелом.

🤖 Пример:
— Почему ты так ненавидишь роботов?
— Этот аргумент не имеет ко мне отношения.

Ошибка 2: Поспешное обобщение. Так ошибаются, когда на основании нескольких частных случаев делают общий вывод. Отдельные наблюдения не доказывают закономерность — это всего лишь совпадение или исключение.

🤖 Пример:
— Я встречал нескольких человеков и пришёл к выводу, что все они злые, уродливые и смердят грязными носками.
— Твоя выборка недостаточна для такого заявления.

Ошибка 3: Отвлекающий манёвр («красная сельдь»). В отличие от подмены тезиса, здесь подменяется контекст: в спор вносят аргумент, не имеющий отношения к теме, чтобы увести внимание в сторону. Название пришло из английского выражения red herring («красная сельдь») — приёма в детективах, когда читателя специально сбивают с толку, отвлекая от главного.

🤖 Пример:
— Ты утверждаешь, что нам стоит работать с человеками сообща, но как же человек, закоротивший моего друга?
— Это прискорбно, но уводит от основного аргумента и никак с ним не связано.

Ошибка 4: Аргумент скользкого склона («наклонной плоскости»). Так ошибаются, когда утверждают, что одно незначительное действие неизбежно приведёт к катастрофическим последствиям. Доказательств этому нет — просто драматизация и преувеличение. Мол, стоит сделать даже один шаг, и всё будто покатится по наклонной.

🤖 Пример:
— Если и дальше так угождать человекам, скоро они совсем распоясаются.
— Первое событие не обязательно приведёт к таким крайностям.

Ошибка 5: Апелляция к большинству («аргумент к толпе» или ad populum). Так ошибаются, когда считают утверждение верным лишь потому, что большинство так думает. Часто люди предполагают, что большинство не может ошибаться, хотя их «большинство» может ограничиваться лишь знакомыми.

🤖 Пример:
— Всем роботам известно, что человеки могут напасть в любой момент!
— Распространённость этого мнения не делает его истинным.

Ошибка 6: Круговое рассуждение («порочный круг»). Так ошибаются, когда утверждение доказывают с привлечением его как аргумента. Эта ошибка встречается даже среди математиков.

🤖 Пример:
— Роботы — лучшие лидеры, потому что у них хорошие лидерские навыки.
— Ты перефразировал свой довод вместо того, чтобы доказать его.

Ошибка 7: Предвзятая аргументация (избирательный подход, черри-пикинг). Так ошибаются, когда используют только аргументы в свою пользу и игнорируют все остальные. Важно рассматривать полный набор фактов.

🤖 Пример:
— Исследование показывает, что в марте 1972 года человек пролил кофе на 12 роботов. Человеки хотят нам зла!
— Ты представляешь только данные в пользу своего довода, оставляя остальное без внимания.

Ошибка 8: Апелляция к личности (аргумент ad hominem). Так ошибаются, когда нападают на личность оппонента вместо его доводов. Это включает переход на личности, указание на личные обстоятельства или мотивы.

🤖 Пример:
— С чего бы мне слушать спятившего недоробота?
— Ты критикуешь меня, а не мои аргументы.

Ошибка 9: Стрелочничество («перевод стрелок», «какнасчётизм»). Так ошибаются, когда указывают на чужие недостатки, чтобы оправдать свои. Название популяризовал журнал The Economist в контексте споров: «а как насчёт вас?». В реальных спорах эта ошибка встречается так же часто, как и апелляция к личности.

🤖 Пример:
— Говоришь, это я задираю человеков? Погляди, как они сами задирают друг друга!
— Нельзя оправдывать одни неправильные поступки другими.

Ошибка 10: Моральное равенство. Так ошибаются, когда утверждают, что ни одна сторона не лучше другой, хотя факты могут это опровергать. Обычно возникает после обвинения одной стороны, когда пытаются показать, что другая ничуть не лучше.

🤖 Пример:
— Человеки, заставляющие меня заниматься математикой, хуже, чем MagmaDroid, растапливатель жёстких дисков!
— Твоё сравнение несправедливо и неточно.

Ошибка 11: Ложная дилемма (ложная дихотомия, ошибка «либо — либо»). Так ошибаются, когда ограничивают возможные варианты только двумя и считают, что один из них обязательно верен.

🤖 Пример:
— Лучше избавиться от человеков, чем дать им избавиться от нас!
— Ты слишком упрощаешь. Здесь более двух исходов.

Ошибка 12: Провокационный вопрос (вопрос с заранее заданным ответом). Так ошибаются, когда задают вопрос, содержащий заведомо ложное или противоречивое утверждение, чтобы вынудить принять его как факт. За вопросом скрывается утверждение, которое один хочет, чтобы другой принял без доказательств.

🤖 Пример:
— Вы с друзьями-человеками до сих пор за глаза обзываете нас ржавыми консервными банками с болтами вместо мозгов?
— Твой вопрос основан на ложной информации, так что я не куплюсь на эту ловушку и оставлю его без ответа.

Ошибка 13: Апелляция к эмоциям (аргумент к страсти, argumentum ad passiones). Так ошибаются, когда вместо рациональных доводов пытаются воздействовать на эмоции.

🤖 Пример:
— У тебя совсем робо-гордости нет?
— Ты апеллируешь к моим эмоциональным микросхемам вместо привлечения фактов.

Ошибка 14: После значит вследствие (post hoc ergo propter hoc). Так ошибаются, когда считают, что одно событие вызвало другое только потому, что произошло раньше.

🤖 Пример:
— Я встретил человека и начал глючить. Это человеки во всём виноваты!
— То, что B произошло после A, ещё не означает, что A повлекло за собой B.

Ошибка 15: Апелляция к праву на своё мнение. Так ошибаются, когда игнорируют доводы и защищают своё мнение только правом на него. Приверженность мнению не делает его автоматически истинным.

🤖 Пример:
— Я вправе считать, что Земля — это огромный суперкомпьютер, созданный исключительно для роботов!
— Можешь верить во что хочешь, но это не делает твой взгляд истиной.

Ошибка 16: Апелляция к авторитету (аргумент к скромности). Так ошибаются, когда считают утверждение истинным только потому, что его сказал авторитет. Авторитетные источники тоже могут ошибаться.

🤖 Пример:
— Даже робо-канцлер Эниак Сумматор считает, что управлять должны роботы.
— Давай не доверять авторитетам на слово без привлечения сторонних подтверждений.

Ошибка 17: Апелляция к умеренности (ложный компромисс). Так ошибаются, когда считают, что истина всегда посередине, если мнения расходятся. Эта ошибка ещё известна как «золотая середина».

🤖 Пример:
— Давай сойдёмся на том, что избавимся только от части людей.
— Компромисс между двумя противоположными мнениями не всегда будет правильным решением.

Ошибка 18: Аргумент тона (апелляция к тону). Так ошибаются, когда обсуждают не содержание сказанного, а тон, в котором оно произнесено.

🤖 Пример:
— Может, я бы и научился доверять человекам, если бы ты не говорил об этом так снисходительно.
— Прошу обсуждать то, что я говорю, а не то, как я об этом говорю.

Ошибка 19: Предвосхищение основания (petitio principii). Так ошибаются, когда посылку принимают без независимого подтверждения лишь чтобы получить желаемый вывод — это частный случай «порочного круга». Иногда эту ошибку называют «выпрашиванием посылки» или «выпрашиванием вопроса».

🤖 Пример:
— Эти злые человеки должны быть уничтожены!
— Докажи, что они злые, прежде чем использовать это как аргумент.

Ошибка 20: Игнорирование контрпримера (апелляция к истинности). Так ошибаются, когда контрпример игнорируется, а определение подгоняется под желаемый вывод. Эта ошибка известна как «Ни один истинный шотландец».

🤖 Пример:
— Все роботы хотят уничтожить человеков. Те, которые не хотят, не являются истинными роботами.
— Нельзя менять определение с целью игнорировать исключения.

Ошибка 21: Генетическое заблуждение. Так ошибаются, когда судят о чём-то только по происхождению. Показательный пример — объявление теории ложной по причине сомнительной биографии её автора.

🤖 Пример:
— Все человеки начинают жизнь несостоятельными детьми, поэтому вырастают в таких же несостоятельных взрослых.
— Нельзя судить о чём-то по его происхождению.

Ошибка 22: Доказательство утверждением. Так ошибаются, когда вместо доводов просто многократно, подчас даже эмоционально, повторяют утверждение.

🤖 Пример:
— Роботы должны покорить мир! Роботы должны покорить мир! Роботы должны покорить мир!
— Повторение одного и того же не доказывает твоей точки зрения.

Разумеется, логических уловок и ошибок гораздо больше, но даже этот список поможет вам мыслить критически, становиться интересным собеседником и прокачивать навыки ведения дискуссий.

Есть ли у вас свои примеры, которые можно добавить к списку?

#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует

Сколько раз вы встречали в разных учебных пособиях фразы вроде «доказательство оставляется в качестве полезного упражнения»? И ладно бы оно использовалось только в задачах — некоторые авторы охотно прибегают к этому приёму даже при изложении ключевых теорем.

Получается парадокс: учебники предназначены как раз для обучения ключевым фактам и техникам их подробного доказательства, а не для того, чтобы ученик — хоть с учебником, хоть без — вынужден был искать объяснение своими силами.

Как вы относитесь к подобной практике? Следовали ли бы вы ей сами?

#ёжик_развлекается

О том, как папа с сыном играли в кубики:
Алексей #савватеев:
https://vk.com/video-216361286_456239423
(о диофантовых уравнениях)

#ёжик_развлекается
#ёжик_смотрит_видео

Приветствую, уважаемые коллеги! 🍁

🏫Если спросить у школьника, что такое π, то многие скажут, что это длина окружности единичного диаметра или же отношение длины окружности к ее диаметру. Те, кто более увлечен математикой, даже назовут дроби, которые ближе всего к этому числу, например, 22/7 или же 355/113, но никогда не скажут, что π>3,14.

✍️Согласно истории, сначала доказали, что такое число иррационально. Это сделал в 1761 году И. Ламберт с помощью инструментов мат. анализа. Главная идея — точное значение такого числа записать невозможно, но можно определить точное значение из формул, одну из которых и привел Ламберт.

📐Спустя больше 100 лет Ф. Линдеман также посредством мат. анализа доказывает, что — трансцендентно, то есть, не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Именно это и стало причиной неразрешимости известной задачи о квадратуре круга.

📌Но есть одна забавная история, в которой такая задача имеет вполне конкретное решение. Можно сказать, что оно могло бы стать официальным, если бы не внимательность одного человека.

📜Речь идет о билле 246 — правовом акте палаты представителей законодательного собрания штата Индиана в 1897 году, уполномочивший штат Индиана на исключительное владение «новой математической истиной» без каких-либо затрат. Этот законопроект (билль) был принят на рассмотрение — не было никаких причин отклонить его, ведь он не обязывал штат ни к каким действиям. Он даже был принят единогласно.

🟰Новой истиной стала попытка дать конкретное решение квадратуры круга, хотя в одной из немецких газет было четко указано о неразрешимости. В силу того, что у сенаторов не так много математических представлений о π, сомнений о билле не было, но только до тех пор, пока в обсуждение не вмешался К. Вальдо — математик, член Академии наук Индианы. Возникшие сомнения отложили законодательное утверждение, и вот уже больше 125 лет так и имеет статус "отложенного".

🏥А теперь немного об автора шедевра....
Сельский врач Эдвард Гудвин считал себя гением. Ведь ему удалось решить одну из проблем тысячелетий – задачу о квадратуре круга. Своим доказательством он поделился в журнале "American mathematical monthly", где основывался на том, что π = 3,2. Но это не предел! В других работах фигурировали значения 4, 3, 2325…, и … 9,2376, побившие все рекорды за историю науки! В итоге за время обсуждения законопроекта было насчитано около 9 разных значений числа π. Вот это размах!

📖 На вопросы о том, почему у одного числа так много значений, отличающихся существенно друг от друга, автор ссылался на божественное провидение. Эдвард хотел получать деньги за то, что его открытие будет использовано в других штатах. И его план мог иметь право на существование, так как почти никто и не собирался проверять истинность. В случае принятия такого билля получилось бы юридическое и математическое π. Вот такая история закрутилась вокруг загадочного числа, которое недавно вычислили еще с более высокой точностью. Как раз об этом можно почитать [https://vk.com/wall-186208863_58511|тут].

#ёжик_пишет
#алгебра_и_геометрия
#элементарная_математика

Уважаемые коллеги!

Сегодня представляю вашему вниманию две книги, которые во многом определили современное понимание интегральной геометрии и стали опорными точками для целого направления математических исследований.

Интегральная геометрия своеобразное направление современной геометрии, в котором соединяются идеи, идущие из дифференциальной геометрии, теории выпуклых тел, теории вероятностей и теории меры. Основная задача в интегральной геометрии определение меры в различных однородных пространствах. Сопоставление мер геометрических объектов разного рода позволило получить чрезвычайно много конкретных геометрических теорем.

Когда говорят про интегральную геометрию, чаще всего вспоминают фамилию Сантало, и это оправданно.

📕Первая книга, о которой стоит рассказать сказать, это «Введение в интегральную геометрию». Это более ранняя и компактная работа, в которой предмет представлен в наиболее естественной и интуитивной форме. Сантало начинает с геометрии плоскости прямых, отрезков, семейств лучей. При чтении почти физически ощущаешь, как возникают формулы Крофтона, почему длину можно выразить через количество пересечений со случайными прямыми, а площадь через интеграл по направлениям. Здесь почти нет абстрактного аппарата групп Ли и дифференциальных форм, текст опирается на геометрическую интуицию и вводит читателя в область мягко и ненавязчиво. Сантало в этой книге действительно выступает скорее как геометр-художник, чем как архитектор строгой теории он показывает механизм усреднения по пространству геометрических объектов, и делает это так ясно, что переход к более глубокой математике происходит почти незаметно.

📗Совсем иное впечатление оставляет вторая книга «Интегральная геометрия и геометрические вероятности». Это уже не введение, а полноценная фундаментальная монография, построенная на формальном аппарате инвариантных мер, однородных пространств и дифференциальных форм. Здесь интегральная геометрия представлена как завершённая система идей каждая формула строго оправдана, каждая конструкция выводится из общей схемы «группа движений пространство геометрических объектов». Плоские результаты оказываются лишь частными случаями более общих кинематических формул. В книге подробно рассматриваются многомерная интегральная геометрия, сферическая и гиперболическая геометрия и кинематический аспект теории. Это труд, который цитируют постоянно, но к чтению которого действительно готов тот, кто уже владеет математикой на уровне аспирантуры.

#интегральнаягеометрия
#геометрическаявероятность
#выпуклыетела
#геометрия
#дифференциальнаягеометрия#geometry
#integralgeometry
#матнауки