выше — вольный перевод эссе
Oded Goldreich "On our duties as scientists (a personal version)" от 14 марта 2004, доступного где-то на страничке https://www.wisdom.weizmann.ac.il/~/oded/essays.html Хороший текст, но не супердоступный (потому что оригинал выложен в формате .ps), захотел это исправить. Курсив авторский, жирный шрифт мой

TLDR: https://www.bible.com/ru/bible/201/LUK.12.48.RSP

"На самом деле наш продукт — человеческое понимание"
https://telegra.ph/O-dokazatelstvah-i-razvitii-matematiki-Sections-56-05-17

On proof and progress in mathematics — второй "экологический" текст, который должен входить в образовательную программу любого математического факультета. (Например, на парах по английскому можно проходить — лексика местами красочная, в моём переводе уж точно теряется). А лучше читайте в оригинале: https://arxiv.org/abs/math/9404236

ещё немного алгебраической теории гомотопий. Какая структура есть на гомотопических группах односвязного топологического пространства X,
L= ⨁_n L_n,
L_n := π‎_{n+1}(X) = π‎_n(ΩX)?

1. Совсем простая часть: структура квази-алгебры Ли относительно скобки Уайтхеда [-,-]: L_n x L_m -> L_{n+m}.
То есть, [-,-] билинейна, градуированно-кососимметрична в том смысле, что
[a,b] + (-1)^{deg(a)deg(b)}[b,a]=0,
и удовлетворяет тождеству Якоби (тоже со знаками).
В отличии от обычной алгебры Ли, здесь отсутствует тождество [a,a]=0.

2. Чуть поинтереснее: если считать известными гомотопические группы сфер, а также всевозможные скобки Уайтхеда и инварианты Джеймса-Хопфа и Хилтона-Хопфа от этих элементов, то на L возникает структура (односвязной) П-алгебры. А именно, определено композиционное умножение с элементами гомотопических групп сфер,
L_n x π‎_{N+1}(S^{n+1}) -> L_N, a x f -> a∘f
(по отображению S^{n+1} -> X и отображению S^{N+1} -> S^{n+1} строится отображение S^{N+1} -> X).
Эта штука линейна по правому аргументу и уважает скобку Уайтхеда:
a∘(f+g)=a∘f + a∘g, [a∘f,a∘g] = a∘[f,g].
Кроме того, выражения вида (a+b)∘f и [a,b∘f] раскрываются сложнее, с помощью инвариантов Хопфа от f. См. детали в файле ниже.
———————
Так как гомотопические группы сфер — штука необъятная, хочется оставить от структуры П-алгебры какую-нибудь совсем маленькую часть. Например, брать композицию только с элементом Хопфа η:S^3->S^2 и с его надстройками η:S^{N+1} -> S^N. Обозначим такую композицию как h(a):=a∘η. Какие тут есть свойства?

0) h(-): L_n -> L_{n+1} — корректно определённая функция.

1) если |a|>1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a'),
[b,h(a)]=h([b,a]),
2h(a)=0.
(то есть: если сесть на L_>1, то получается довольно приятная линейная операция, бьющая из L_>1 в 2-кручение и удовлетворяющая тождеству h([-,-])=[-,h(-)].)

1') Если |a|=1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a')+[a,a'],
[b,h(a)]=h([b,a])+[[b,a],a],
2h(a)=0+[a,a].
(какая-то "метастабильная деформация" описанного выше.)

Это были "алгебраические" свойства. А теперь более дурацкие "гомотопические":
2) если |a|>1, то имеем:
h(h(h(a))) делится на 2,
h(h(h(h(a))))=0.
Более того: если |a|>2, то h(h(h(a))) делится на 4.
(при этом даже понятно, композициями с какими элементами являются эти "частные"; можно посчитать от этих элементов инварианты Хопфа, и получить ещё больше тождеств; я их не вычислял, но наверняка они неочевидные)

2') если |a|=1, то имеем:
h(h(h(h(a)))) делится на 2,
h(h(h(h(h(a)))))=0.

3) при некоторых условиях на |a| и k=1,2,3 зануляются элементы [a,h^k(a)].

"Речевое общение обладает, хотя и по-своему, свойствами, характеризующими всякую кооперативную деятельность"
https://telegra.ph/Logika-i-rechevoe-obshchenie-05-23

H. P. Grice, Logic and Conversation — то немногое, что я вынес из лекций по русскому языку и культуре речи. Это совсем не про математику, но тоже близкий мне морализаторский текст.

Ещё, хочется ведь уметь ярко и ясно выражаться; по этому тексту можно составить чеклист "часто совершаемых ошибок", и список критериев. Хотя не затрагивается вопрос "яркости", то есть искусство рассказывать интересные истории (а без этого никуда).

А математика тут всё-таки по делу — как ещё одна крайне кооперативная деятельность, в которой важно рассказывать интересные истории и качественно излагать свои мысли (reader-friendly). Что перекликается с предыдущими двумя текстами. У меня нет чёткого понимания, какие именно свойства естественного языка особенно ярко проявляются при написании математических текстов, в докладах — но чувствуется, что это происходит красивым образом.

помните её? это она сейчас
https://www.mathnet.ru/rus/rm5865

#мехмат_студентам #летняя_школа

Механико-математический факультет МГУ и Московский центр фундаментальной и прикладной математики проводят летнюю студенческую школу по топологии. Тема Школы - К-теория, характеристические классы, кобордизмы. Согласие провести циклы лекций и отдельные лекции по этим и смежным темам выразили И. А. Тайманов, Д. О. Орлов, А. И. Шафаревич, Г. И. Шарыгин, А. Ю. Савин, Ф. Ю. Попеленский. Большая часть лекций будет доступна студентам 3-4 курса.

Школа будет проходить на мехмате МГУ со 2 по 5 июля 2025 года.

Для участия в Школе нужно заполнить форму.

Телеграм-канал Школы.

Сайт Школы.

мы должны распространять этот текст

для удобства распространения:
https://telegra.ph/Iyul-1998----teper-v-otkrytom-dostupe-05-27
"...Общая же идея состояла в том, что всякая коммуникация происходит как бы одновременно на нескольких уровнях и нескольких языках. В пределе, у текста есть язык смысла слов и фраз, с одной стороны, и знаков препинания и опечаток, с другой. В раю доминирует первый, в аду -- второй.
Вообще, честная коммуникация отличается от бесчестной тем, что в честной разные языки и уровни передают некие согласующиеся между собой смыслы, в то время как в бесчестной -- противоречащие один другому и несовместные."

"[John Henry Whitehead] challenged his colleagues to improve upon a well known palindrome:

Step on no pets.

Hilton responded two days later with a great palindrome that did not see the light of day until 1973, and even then anonymously:

Sex at noon taxes.

That set off a maniacal competition that ended with Hilton's triumph. Because of wartime secrecy and the death of most of the principals, though, the other entries (and entrants) have been lost."

https://www.visualthesaurus.com/cm/wc/the-palindrome-game-of-the-enigma-codebreakers/