Русская пирамида или американский пул❓

Мы выбираем математические бильярды! Эта модель рассматривает движение точки (бильярдного шара) внутри ограниченной области (бильярдного стола) по закону «угол падения равен углу отражения».

В отличие от реального бильярда, в математической модели нет трения, вращения и других физических факторов — только чистые законы геометрии. Так, например, двигается скринсейвер с DVD, о котором мы писали здесь и здесь. Но это лишь частный случай общей концепции!

Дело в том, что движение точки определяется не только правилами отражения, но и формой области, в которой она заключена. В зависимости от геометрии пространства путь точки будет меняться:

🔳 в прямоугольных и круглых формах движение предсказуемо и поддаётся точному анализу — матемематики называют его интегрируемым, т.е. полностью описываемым формулами;

🌀 сложные формы с изгибами и дугами, например, как стенка стадиона, делают траекторию хаотичной — даже небольшое изменение начальных условий может привести к непредсказуемому результату.

Сочетание простоты и сложности этой модели даёт возможность подступиться к систематическому изучению… хаоса!

Но об этом чуть позже. А пока загибайте пальцы, где мы встречаемся с моделью в реальной жизни:

1️⃣ Оптика и акустика
Поведение лучей или звуковых волн моделируется стенками замкнутого пространства. Бильярды нужны архитекторам, чтобы понять акустические свойства помещений, а в оптике они помогают предсказывать отражения света в сложных системах, таких как лазеры, камеры, световоды.

2️⃣ Компьютерная графика и геймдев
Бильярды могут применяться в игровых физических движках, например, для моделирования столкновений и отражений, или визуализаций хаотических систем.

3️⃣ Квантовые бильярды
Физики используют квантовые бильярды, чтобы моделировать поведение микрочастиц — молекул, атомов, электронов и т.д. Роль шаров здесь играют волновые функции. Их поведение определяется не только границами, но и тем, что на них происходит — отражается волна или затухает.

И это далеко не всё. Завтра расскажем, как бильярды помогают современной науке изучать границы вычислимого, и поделимся крутыми ресурсами для погружения в тему.

С вас 👍, если захотелось разобраться в законах рикошета!

#как_устроено

🎱 Что почитать о математических бильярдах

Вчера мы говорили о более-менее прикладных историях: оптика, акустика, геймдев. Но математические бильярды давно вышли за пределы физического пространства и заняли своё место в серьёзной науке.

Через них изучают динамические системы, энтропию, эргодичность, фрактальную геометрию и даже парадокс потери предсказуемости. Это редкий случай, когда простая модель помогает исследовать границы вычислимости и порядка.

Если хотите разобраться, что к чему — собрали пару понятных и полезных источников на русском:

➡️Григорий Гальперин и Александр Земляков «Математические бильярды»
Книга формально рассчитана на школьников 9-10 классов (хотя, если честно, оценка довольно оптимистичная). Но подойдёт и взрослым, интересующимся математикой. В книге есть и теория, и задачи и объяснение междисциплинарных связей математических бильярдов.

➡️Сергей Табачников «Математический дивертисмент»
Этот сборник уже мелькал у нас в рекомендациях. Но тогда мы не упоминали, что целая глава в нём посвящена бильярдам в эллипсах. А на личном сайте математика можно найти ещё две книги по этой теме.

Настоящим эскапистам советуем также заглянуть в наши прошлые подборки: книги полегче, но с изюминкой — вот тут, а если хочется напрячь извилины — вам вот сюда 📕

#рекомендуем

Магия приближения на бесконечности ✨

Некоторые функции бывают настолько сложными, что в математике едва ли найдётся способ с ними работать. Учёные всегда стремились сделать их более управляемыми — такими, чтобы их можно было дифференцировать, интегрировать, приближать и использовать в вычислениях.

Поэтому огромным достижением математического анализа стало открытие степенных рядов Тейлора.

Идея оказалась гениально проста: строить функцию в виде бесконечного многочлена. Используя значения производных всего в одной точке, расписывать выражение, которое очень точно восстанавливает полное поведение и форму функции.

Ряд Тейлора — это способ разложения функции в степенной ряд. Благодаря формуле, которую мы вынесли на картинку, можно:

✅ вычислять синусы, логарифмы, eˣ и другие функции на компьютерах — через простую арифметику (сложение, умножение, вычитание, деление), доступную ПО;
✅ решать уравнения с неявно заданными функциями;
✅ упрощать сложные модели в физике, экономике и инженерии.

Но ряды Тейлора — это не просто формула, а способ мыслить. Искать путь от локального к глобальному: ты знаешь, как функция ведёт себя в одной точке, и можешь восстановить весь её облик. В этом точно есть что-то поэтическое!

Тем не менее идея Брука Тейлора долгое время оставалась в тени. У учёного не было привычки громко заявлять о своих достижениях. Пока он занимался вибрациями струн, оптикой и изучением живописи, его главное открытие пылилось в книге Methodus Incrementorum Directa et Inversa.

Через 17 лет математик Маклорен обнаружил его. Тогда формула и раскрылась во всей своей силе. А для разложения в окрестности нуля даже выделили отдельный термин — ряд Маклорена. С ним формулы стали короче, а вычисления быстрее.

Ну как, теперь мем про книгу стал понятнее?😇

#как_устроено

Математика вообще существует ⁉️

Недавно в сети завирусилось одно неоднозначное видео. На нём преподаватель утверждает, что математика — вовсе не точная наука, а искусство.

Слова спикера — не просто красивая метафора, а буквальное представление философской школы фикционизма. Приверженцы этого направления считают, что числа — это не универсальные константы, а лишь удобное изобретение человека.

Им оппонируют реалисты: их концепция строится на том, что любое натуральное, иррациональное или даже комплексное число описывает что-то реально существующее в мире. Есть ещё и платоники, которые полагают, что числа и структуры вшиты в само устройство Вселенной.

Так кто из них прав?

Если знаете точный ответ — пишите в комментарии. Мы пока не решились спорить с философами 🥲

Но вот что знаем точно: всё, что люди считают, доказывают и моделируют, опирается на фундаментальные понятия — основания математики. Без них не будет ни айтишки, ни инженерии, ни экономики.

Именно поэтому мы хотим заглянуть вглубь философских концептов. Делать это будем раз в пару недель в новой рубрике #это_база.

Разберём базовые понятия, покажем, как менялся взгляд на их определения, и объясним, как математические абстракции становятся реальностью.

Начнём уже сегодня с… точки 🔵

Хотите почувствовать дыхание математики❓

Ниже — три книги из Библиотеки «Математическое просвещение». Точнее даже — «брошюры», как их называет сам издатель в силу небольшого размера. Но по насыщенности и глубине материала они легко конкурируют с куда более объёмными изданиями.

✅ А. Б. Сосинский — Мыльные плёнки и случайные блуждания

Мы уже рассказывали о случайных блужданиях. В этой книге вы найдёте набор интересных задач по теме. Сосинский — мастер превращать сложные идеи в живые рассказы. В брошюре минимум формул — почувствовать, как реальные физические явления ведут нас к абстрактным структурам сможет каждый.

✅ В. А. Скворцов — Примеры метрических пространств

Помните, мы писали про метрики? В этой книге профессор Скворцов подробно рассказывает, как они изменяют привычные пространства, ломая наши ожидания. Автор показывает, насколько гибкими могут быть аксиомы, и как можно из них вылепить совершенно неожиданные миры. Отлично подойдёт тем, кто устал от привычной евклидовой геометрии!

✅ А. А. Болибрух — Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Гильберт сформулировал свою знаменитую программу в 1900 году, и с тех пор его задачи стали своеобразной картой для математиков XX века, о чём мы говорили здесь. Болибрух рассматривает их спустя столетие и рассуждает, в каком направлении двигается математика. Чтение не самое лёгкое, но увлекательное — особенно для тех, кто интересуется историей идей.

Кстати, уже открывали что-нибудь из нашей прошлой подборки? Поделитесь впечатлениями! И не стесняйтесь писать в комментариях ваши must-read по математике — будем пополнять наш банк рекомендаций 🔅

#рекомендуем

Какая муха нас укусила❓

Видимо, та же, что и математика Арнольда.

Сегодняшнюю задачу он любил настолько, что включил в свой сборник «Задачи для детей от 5 до 15». Оттуда мы, кстати, её и взяли в такой забавной постановке.

✅Условие: от города A до города B расстояние 40 км. Два велосипедиста выехали из A и из B одновременно и навстречу друг другу, один со скоростью 10 км/ч, а другой — 15 км/ч.

Вместе с первым велосипедистом из города A вылетела муха со скоростью 100 км/ч. Она долетела до второго, села ему на лоб и полетела обратно к первому. Села ему на лоб, вернулась ко второму и так далее, пока они не столкнулись лбами и не раздавили ими муху.

✅Вопрос: сколько всего километров пролетела муха?

Пишите свои ответы и способ решения в комментарии. Чур, не гуглить❤️

#задача