Вот задачи:
Все из них на перечисленные выше идеи. В них нужно либо явно доказать касание, либо использовать касание, данное в условии, либо же дорисовать касающиеся окружности самому. Многие задачи решаются несколькими разными способами, в каких-то нужно применить несколько идей сразу. Задачи идут (примерно) по возрастанию сложности. (Последние 2 картинки к одной задаче)

Типа теорема о 3 колпаках для дважды касающихся коник

Вдогонку к посту Макса.

У двух треугольников ABC и DEF общая вписанная окружность. Докажите, что если D лежит на A полувписанной ABC, то A лежит на D полувписанной DEF.

Забавный факт

Симпатичная задача

Черная окружность и треугольник произвольные. Если прямая и точка одного цвета, то они поляра и полюс относительно этой окружности.

(!) Точки пересечения поляр со сторонами треугольника лежат на одной прямой