Задача 50:
Автор - Чуев Савва

Добрая задача

В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF. Точка A' лежит на (ABC) и такова, что AA'||BC. Точка K - пересечение (ABC) и (A'FE), отличное от A'. Докажите, что медиана AM треугольника ABC и прямая KD пересекаются на (ABC).

Задача 51:
Автор - Пучков Пëтр

Обобщение леммы 255

P₁ и P₂ - изогонально сопряжены в треугольнике ABC. X₁ и X₂ - проекции B на AP₁ и AP₂, а Y₁ и Y₂ - проекции B на CP₁ и CP₂ соответственно.

1) Точки X₁ и X₂, Y₁ и Y₂ симметричны относительно средней линии треугольника ABC. Если P₁ и P₂ совпадают (случай инцентра), то X₁ = X₂, Y₁ = Y₂ лежат на средней линии.

2) Обобщённые точки 255 лежат на хордах педальной окружности точек P₁ и P₂. Если A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ - проекции точек P₁ и P₂ на стороны BC, AC и AB треугольника соответственно, то X₁ ∈ A₁B₂, X₂ ∈ A₂B₁, Y₁ ∈ B₂C₁, Y ∈ B₁C₂.

Задача 52:
Автор - Ким Пëтр

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. Точка D на BC такова, что верно равенство углов: DAB = BAC. Точки X и Y на AB и BC соответственно таковы, что AX : XB = 2 : 1 и BY : YC = 2 : 1. Доказать, что отражение D относительно XY лежит на AC.

Задача 53:
Автор - Пучков Пëтр
Источник - Олимпиада по геометрии имени Шарыгина 2024, задача 9.4

При каких n на плоскости можно отметить несколько точек и окружностей так, что выполнены условия:
- На каждой окружности лежит ровно n точек
- Через каждую точку проходит ровно n окружностей
- У каждой окружности отмечен центр

Хотели бы сделать объявление:
С 18 по 23 августа на аопсе (ссылка ниже) будет проходить очень интересная олимпиада MGO 2024.

Составители задач - очень опытные геометры, среди них есть:
- Жюри олимпиады Шарыгина
- Золотые медалисты уровня Advanced Иранской геометрической Олимпиады
- Победители SAGF и Discord Geometry Olympiad
- Победители ВСОШ и кандидаты в сборную России на Международную Математическую Олимпиаду

Сложность задач будет достаточно высока: по шкале Imo Shortlist:
p1/p4 - G4
p2/p5 - G6/G7
p3/p6 - G8+

При этом в отличии от других олимпиад по геометрии высокой сложности на этой олимпиаде не будет:
- нагромождённых конструкций (все условия не более 4 строк в длину и обладают поразительной красотой)
- сложных объектов (каких-нибудь никому не известных замечательных точек, коник, или кубик)
- геометрических неравенств или комбинаторной геометрии

От себя могу добавить, что на мой взгляд, на этой олимпиаде будет несколько задач, которые могут претендовать на звание самых красивых задач в истории. Всем рекомендую поучаствовать!

https://artofproblemsolving.com/community/c594864h3379839_mgo_2024_announced

Задача 53:
Автор - Прозоров Роман, GeoGen
Источник - MGO 2024, задача 1

Пусть I - инцентр ABC. Пусть l - произвольная прямая, про- ходящая через I. l пересекает (ABC) в точках X и Y и пересекает BC в точке Z. Прямая, проходящая через Z и параллельная AI пересекает AX и AY в точках D и E соответственно.
Доказать, что точки A, I, D, E лежат на одной окружности.

Задача 54:
Автор - Прозоров Роман
Источник: MGO 2024, задача 2

Пусть Γ - описанная окружность ABC. Пусть ω - вневписанная окружность, противоположная A, а Ia - её центр. Прямые l и m - общие касательные к Γ и ω. Пусть a′ - отражение BC относительно Ia. Назовём пересечения l и m с a′ X и Y.
Доказать, что существует окружность, проходящая через X, Y и касающаяся AB, AC, Γ.

Задача 55:
Автор - Ким Пётр
Источник: MGO 2024, задача 3

Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. Пусть w1 и w2 - две окружности, проходящие через A, B и C, D соответственно и пересекающиеся вне окружности (ABCD).
Доказать, что если существует окружность, касающаяся AB, CD, w1, w2,то существует окружность или прямая, касающаяся BC, AD, w1, w2.

Задача 56:
Автор - Григорий Забазнов
Источник: MGO 2024, задача 4

На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки E и F соответственно так,что B,E,F,C лежат на одной окружности. Прямые BF и CE пересекаются в точке K. Отражение прямой AK относительно биссетрисы угла BAC пересекает BF и CE в точках M и N.
Доказать, что если окружность (MKN) касается BC, то она касается и EF.

Задача 57:
Автор - Алексей Суворов
Источник - MGO 2024, задача 5

Пусть n - целое число и A1A{n+1}B{n+1}B1 - прямоугольник. Пусть точки A2, A3, ...An лежат на сторонe A1A{n+1} в именно таком порядке. (а также точка A2 должна лежать между A1 и A3). Пусть B2, B3, ...Bn лежат на стороне B1B{n+1} в именно таком порядке (а также точка B2 должна лежать между B1 и B3). Пусть S - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида AiBiB{i+1} где 0<i<n+1 и пусть T - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида BjAjA{j-1} где 1<j<n+2. Оказалось, что элементы S попарно различны и элементы T попарно различны. Также известно, что есть такие a из S и b из T, что S\a (все элементы S, кроме a) = T\b.
Докажите, что a = b.

Задача 58:
Автор - Роман Прозоров
Источник MGO 2024, задача 6

Внутри треугольника ABC отмечена точка P. Оказалось, что прямая, содержащая три внешних центра гомотетии пар вписанных в треугольники ABP, BCP, CPA окружности проходит через вершину ABC.
Доказать, что существует прямая, касающаяся окружностей, вписанных треугольники ABP, BCP, CPA.

Задача 59:
Автор - Пётр Ким
Источник - Южный Математический Турнир 2024

В треугольнике ABC w - вписанная окружность. B-полувписанная окружность пересекает C-полувписанную окружность в точке X. Оказалось, что X лежит вне w. Из X провели касательные k и l к w.
Доказать, что существует окружность, касающаяся k и l и проходящая через B и C.

Задача 60:
Автор - GeoGen, Пётр Ким

В выпуклом четырёхугольнике ABCD E - точка пересечения диагоналей. F - точка пересечения лучей AB и DC. Точка X - E-точка Шалтая треугольника AED, а точка Y - E-точка Шалтая треугольника BEC.
Доказать, что (XEY) касается FE.

Задача 61:

Пусть I - инцентр треугольника ABC, а его вписанная окружность касается сторон AC и AB в точках D и E. Окружности (BID) и (CIE) пересекают (ABC) вторично в точках F и G. Докажите, что точки D, E, F, G лежат на одной окружности

канал жив?

Задача 62:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Лучи BA и CD пересекаются в точке E, а лучи AD и BC в точке F. Оказалось, что ED = FD. Докажите, что инцентры треугольников ADE и CDF равноудалены от O

Задача 63:

На дугах AC и AB окружности (ABC) выбраны точки P и Q соответственно так, что PQ || AB. R и S - основания перпендикуляров из P и Q на AC и AB соответственно. Докажите, что R и S равноудалены от середины отрезка PQ

Задача 64:

Дан четырехугольник ABCD, описанный вокруг окружности с центром I. Пусть P - точка внутри ABCD такая, что периметры треугольников APB, BPC, CPD и DPA равны. На отрезках PA, PB, PC и PD откладываются на равное расстояние от P точки A', B', C' и D' соответственно. Докажите, что прямые A'C', B'D' и PI пересекаются в одной точке

Задача 65:
Авторы - Пучков Пëтр, GeoGen

В треугольнике ABC Ш_{BAC} - точка Шалтая для вершины A. D - проекция Ш_{BAC} на AC. Б_{ADB} - точка Болтая треугольника ADB для вершины D. Прямая AБ_{ADB} пересекает BC в точке E.
Докажите, что окружности (AШ_{BAC}C) и (BБ_{ADB}E) касаются

Задача 66:

В треугольнике ABC на стороне BC, как на основании, построены в обе стороны равнобедренные прямоугольные треугольники BPC и BQC. Прямые BP и BQ пересекают прямую AC в точках X и Y соответственно. Прямые CP и CQ пересекают прямую AB в точках Z и T соответственно. Докажите, что XZ // YT

Задача 67:
Автор — Ким Пётр

В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки D и E соответственно таким образом, что DE параллельно BC. Точка F на BC выбрана таким образом, что четырёхугольник ADFE — описанный.
Доказать, что (DEF) касается вписанной окружности треугольника ABC.