#геом_разминка

Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Пусть 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝐹. Пусть 𝑋̸ = 𝐷 — точка на 𝜔, такая, что 𝐷𝑋 и 𝐸𝐹 параллельны. Пусть 𝑌 — отражение 𝐷 относительно 𝐸𝐹. Докажите, что 𝐴, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной прямой.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐺 — точка меньшей дуги 𝐵𝐶 описанной окружности 𝜔 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, 𝐷 — точка на 𝐵𝐶 такая, что ∠𝐶𝐴𝐺 = ∠𝐷𝐴𝐵, 𝐹 — точка на 𝐴𝐸 такая, что 𝐴𝐹 = 𝐴𝐷, и 𝐸 — точка на 𝐵𝐶 такая, что 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸. Докажите, что 𝑀, 𝐸, 𝐺, 𝐹 лежат на одной окружности, где 𝑀 — середина меньшей дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔.

#геом_разминка

UPD 2: условие поправили, спасибо подписчикам за верную версию!

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 — выпуклый шестиугольник, такой что ∠𝐹𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 90° и четырехугольник 𝐵𝐶𝐸𝐹 — описанный. Докажите, что 𝐴𝐷 ≤ 𝐵𝐶 + 𝐹𝐸.

#геом_разминка

Мы перепроверили в источнике 💦 сегодняшнюю разминку, но похоже, что исходное условие просто неверно 😥 Если у кого-то из подписчиков появятся идеи как переформулировать условие, то пишите в комментах 👇

Публикуем взамен вот такую задачку

Задача. Дан описанный около окружности 𝜔 с центром в точке 𝐼 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Окружности описанные около 𝐴𝐼𝐵 и 𝐶𝐼𝐷 пересекают 𝜔 в точках 𝑋, 𝑌 и 𝑍, 𝑇 соответственно. Докажите, что 𝑋𝑌 ‖ 𝑍𝑇.

#геом_разминка

Задача. Дан неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶, 𝐷, 𝐸 взяты на отрезках 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐶𝐴 = 𝐶𝐷, 𝐵𝐴 = 𝐵𝐸. Пусть 𝜔 — описанная окружность треугольника 𝐴𝐷𝐸. Точка 𝑃 — симметрия 𝐴 относительно 𝐵𝐶. Пусть 𝑃𝐷, 𝑃𝐸 вторично пересекают 𝜔 в точках 𝑋, 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝐵𝑋 и 𝐶𝑌 пересекаются на 𝜔.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐻 — ортоцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Пусть 𝐷 и 𝐸 — основания высот на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Пусть 𝐴𝐻 пересекает 𝐷𝐸 в точке 𝑃, а прямая, проходящая через 𝐻, перпендикулярная 𝐴𝐻, пересекает 𝐷𝑀 в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃, 𝑄, 𝐵 коллинеарны.

#разминка

Задача. Додекаэдр и икосаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что они описаны около одной и той же сферы.

#разминка

Задача. Если в детектор фальшивых монет опустить 5 монет весом 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 граммов, где 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒, то он, пожужжав, сбросит монеты весом 𝑏 и 𝑐 граммов в правую чашу, а остальные монеты — в левую. Есть 50 монет попарно различных по весу. Они пронумерованы и легко различаются по внешнему виду. Как при помощи детектора определить самую легкую монету?

#разминка

Задача. Существует ли выпуклая фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?

#геом_разминка

Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, вписанный в окружность Ω, и произвольная точка 𝑃 внутри этого треугольника. Пусть 𝐷 — точка на Ω такая, что 𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝑃. Прямая 𝐶𝐷 пересекает серединный перпендикуляр к 𝐵𝐶 в точке 𝑀. Прямая 𝐴𝐷 пересекает в точке 𝑄 прямую, проходящую через 𝐵 и перпендикулярную 𝐵𝑃. Пусть 𝑁 — отражение 𝑄 относительно 𝑀. Докажите, что 𝐶𝑁 ⊥ 𝐶𝑃.