парабола з фокусом F дотикається до сторін трикутника в точках P, Q, R. доведіть вписаність MPQR

красива лема, яку нагадав @coolratiolemma(див. його рішення до попередньої задачі)

баян:
триполяра точки лемуана співпадає з її полярою відносно (ABC)

100 підписників не за горами, але статтю про епіциклоїди я ще навіть не починав писати, тому, вона відкладається на невизначений час(
а взагалі я швидше напишу статтю про коніку ньютона, зараз навіть голосування зроблю, по результатам я напишу статтю або про епіциклоїди, або про узагальнення прямої ньютона

якщо розглядати коніки ньютона чотирикутників ABCD, ABDC, ADBC, то із означення в площах - спільна точка любих двох - належить третій, цікаво, чи в цих точок є якісь геометричні властивості, чи вони не вартують подальшого дослідження?

Ap - точка аполлонія(перша, чи друга - не важливо). коло аполлонія кіл (BApC), (CApA), (AApB) дотикається до них в точках K, L, M. доведіть що AK, BL, CM перетинаються в одній точці.

створив канал з задачами на побудову

ладно. буду кидати задачі на побудову тут(але канал не видалю).
щоб пост не був зовсім без задач:
докажіть що радикальна вісь таких двох довільних кіл(не дотикаються) проходить через фіксовану точку.

p.s. відписники, я вас найду!

коніка з фокусами P, Q - дотикається сторін трикутника в їх серединах. коніка з фокусами R, S дотикається сторін в основах висот. доведіть, що чотирикутник PRQS - гармонійний.

p. s. надихався останнім постом олімпіадної геометрії

фокуси еліпса що дотикається сторін BC, CA, AB у точках K, L, M дотику зовнівписаних кіл, є також фокусами описаного еліпса трикутника ABC.

один із фокусів коніки - точка торрічеллі T_1, доведіть, що T_1 співпадає з перспектором.

у вписаної і описаної коніки з центром в точці лемуана, перпендикулярні осі.

красивий факт про який я взнав ще давно, але звернув увагу лише зараз.
теорема скутіна:
для фокуса S еліпса штейнера, чевіани що є продовженнями AS, BS, CS - рівні.

A, B, C, коло w - фіксовані
w проходить крізь C
Для точки X кола w визначимо точку Y як другий перетин прямої CX та кола (ABX). Тоді ГМТ Y - коніка.

P, Q - ізогонально спряжені відносно ABC. кола із центрів кіл (BPC), (CPA), (APB) і (BQC), (CQA), (AQB) - співвісні з (ABC).

<BAC=<EAB=<DAC, доведіть що перетин BD з CE належить коніці ABCOH.

тематична задачка до завтрашнього всеукру з фізики

Саме час запостити якусь цікаву задачу перед всеукром з фізики

Точкове тіло відпускають над похилою площиною без початкової швидкості. Опору повітря нема, відбивання тіла від площини абсолютно пружні. Доведіть, що фокуси усіх параболічних траєкторій утворених між кожними двома послідовними відбиттями лежать на одній прямій.