Анси логика

Прочитала не так давно вышедшую книгу Джона Стилуэлла "Обратная математика". Жаль, что книга очень короткая и мне немного не хватило глубины в ней. Но меня до сих пор вштыривает от того, что из слабой леммы Кёнига не следует обычная лемма Кёнига 😱
Поясню. Обычная лемма Кёнига: в любом бесконечном дереве с конечным ветвлением есть бесконечный путь. Слабая лемма Кёнига: в любом бесконечном поддереве полного двоичного дерева есть бесконечный путь. По сути мы запрещаем ветвиться как угодно сильно, а разрешаем либо вообще не ветвиться, либо давать две веточки. И это резко обрушивает силу теоремы!!! Например, теорему Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у любой ограниченной последовательности из слабой леммы Кёнига не вывести, нужна обычная лемма Кёнига.
Казалось бы: если умеем делиться на 2 веточки, то почему бы не уметь делиться на любое конечное число веточек? Я тут вижу, во-первых, что если уметь делиться "на любое конечное число веточек", то тут будет в неявном виде присутствовать индукция, что уже выглядит слишком сильным предположением. Во-вторых, имеются нестандартные модели натурального ряда: число веточек может быть конечным, но нестандартным (а почему бы и нет?).
Помню, что я окончательно поверила во вторую теорему Гёделя, когда увидела следующий нестандартный вывод лжи. Обозначаю 1 за истину, 0 за ложь.
1. 1
2. 1
3. 1
....
далее идёт нестандартный кусок, пусть с - одно из нестандартных натуральных чисел.
....
c-3. 0->0
c-2. 0
с-1. 0->0
с. 0
И всё честно, каждая формула либо аксиома (как 0->0), либо получается из предыдущих по modus ponens 🤯

www.group-telegram.com/br/ansi_logic.com/339

948 viewsOct 29, 2024 at 17:27

Прочитала не так давно вышедшую книгу Джона Стилуэлла "Обратная математика". Жаль, что книга очень короткая и мне немного не хватило глубины в ней. Но меня до сих пор вштыривает от того, что из слабой леммы Кёнига не следует обычная лемма Кёнига 😱
Поясню. Обычная лемма Кёнига: в любом бесконечном дереве с конечным ветвлением есть бесконечный путь. Слабая лемма Кёнига: в любом бесконечном поддереве полного двоичного дерева есть бесконечный путь. По сути мы запрещаем ветвиться как угодно сильно, а разрешаем либо вообще не ветвиться, либо давать две веточки. И это резко обрушивает силу теоремы!!! Например, теорему Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у любой ограниченной последовательности из слабой леммы Кёнига не вывести, нужна обычная лемма Кёнига.
Казалось бы: если умеем делиться на 2 веточки, то почему бы не уметь делиться на любое конечное число веточек? Я тут вижу, во-первых, что если уметь делиться "на любое конечное число веточек", то тут будет в неявном виде присутствовать индукция, что уже выглядит слишком сильным предположением. Во-вторых, имеются нестандартные модели натурального ряда: число веточек может быть конечным, но нестандартным (а почему бы и нет?).
Помню, что я окончательно поверила во вторую теорему Гёделя, когда увидела следующий нестандартный вывод лжи. Обозначаю 1 за истину, 0 за ложь.
1. 1
2. 1
3. 1
....
далее идёт нестандартный кусок, пусть с - одно из нестандартных натуральных чисел.
....
c-3. 0->0
c-2. 0
с-1. 0->0
с. 0
И всё честно, каждая формула либо аксиома (как 0->0), либо получается из предыдущих по modus ponens 🤯

BY Анси логика