Компьютерная математика Weekly

возникла пауза в компьютерной математике, но попробуем постепенно продолжить

начинал уже ( https://www.group-telegram.com/us/compmathweekly.com/45 ) разговор про подсчет количеств решений mod p

базовый пример здесь — плоские кривые: пишем уравнение на x и y с целыми коэффициентами и смотрим как растет количество решений mod p с ростом p

для линейных уравнений ничего интересного не происходит: сколько есть остатков, столько и точек на прямой

рациональная параметризация учит, что и для квадратных уравнений ничего особенно интересного не происходит (если только правильно учесть «точки на бесконечности»)

дальше последовательность выглядит как «один, два, много» — кубические кривые уже скрывают бесконечную сложность… но чтобы с чего-то начать:

если мы смотрим на число N(p) решений y²=x³+ax²+bx+c mod p (и всё гладко, что бы это ни значило… напр., кривая y²=x³ не подходит), то можно ожидать, что правая часть примерно с одинаковой вероятностью квадратичный вычет и квадратичный невычет… и если воспринимать здесь идею про случайность всерьез, то можно ожидать, что |N(p)-p| имеет порядок примерно √p

из (доказанных) гипотез Вейля следует, что |N(p)-p|⩽2√p, в частности, N(p)/p→1… а дальше можно посмотреть на произведение N(p)/p (по p⩽x) — и ожидается, что эта штука растет примерно как log(x)^r, где r — ранг нашей кривой (рациональные точки на кривой образуют коммутативную группу, речь идет про ее ранг)

последнее утверждение — это форма гипотезы BSD (такая… более рабоче-крестьянская форма: без L-функций)

хотел проверить это экспериментально на каких-то примерах, но пока выходит не очень (нужно считать количества точек для больших p, а это лучше делать не в лоб, а быстро считать символ Лежандра… все преодолимо, но пока пусть останется планом)

Telegram

Компьютерная математика Weekly

Рассказывал пару раз на летних школах про количества решений разных уравнений mod p. Вот, например, на такую таблицу можно попробовать посмотреть и поискать какие-то закономерности.

Генерировал ответы в таком духе:

from prettytable import PrettyTable

def…

www.group-telegram.com/us/compmathweekly.com/69

603 viewsGrigory Merzon, May 21 at 14:18

возникла пауза в компьютерной математике, но попробуем постепенно продолжить

начинал уже ( https://www.group-telegram.com/us/compmathweekly.com/45 ) разговор про подсчет количеств решений mod p

базовый пример здесь — плоские кривые: пишем уравнение на x и y с целыми коэффициентами и смотрим как растет количество решений mod p с ростом p

для линейных уравнений ничего интересного не происходит: сколько есть остатков, столько и точек на прямой

рациональная параметризация учит, что и для квадратных уравнений ничего особенно интересного не происходит (если только правильно учесть «точки на бесконечности»)

дальше последовательность выглядит как «один, два, много» — кубические кривые уже скрывают бесконечную сложность… но чтобы с чего-то начать:

если мы смотрим на число N(p) решений y²=x³+ax²+bx+c mod p (и всё гладко, что бы это ни значило… напр., кривая y²=x³ не подходит), то можно ожидать, что правая часть примерно с одинаковой вероятностью квадратичный вычет и квадратичный невычет… и если воспринимать здесь идею про случайность всерьез, то можно ожидать, что |N(p)-p| имеет порядок примерно √p

из (доказанных) гипотез Вейля следует, что |N(p)-p|⩽2√p, в частности, N(p)/p→1… а дальше можно посмотреть на произведение N(p)/p (по p⩽x) — и ожидается, что эта штука растет примерно как log(x)^r, где r — ранг нашей кривой (рациональные точки на кривой образуют коммутативную группу, речь идет про ее ранг)

последнее утверждение — это форма гипотезы BSD (такая… более рабоче-крестьянская форма: без L-функций)

хотел проверить это экспериментально на каких-то примерах, но пока выходит не очень (нужно считать количества точек для больших p, а это лучше делать не в лоб, а быстро считать символ Лежандра… все преодолимо, но пока пусть останется планом)

BY Компьютерная математика Weekly