хочу научиться компьютерным экспериментам в математике

текущий план — попробовать записывать сюда происходящее (прямо примеры готового кода и т.п.) не реже раза в неделю

начиная с чего-то совсем простого, а там посмотрим, как пойдет

--Г.М.

def prime_factors(num):
    factor = 2
    while num > 1:
        if num % factor == 0:
            yield factor
            num = num // factor
        else:
            factor += 1

for k in [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]:
    print("2^",k,"-1",end="=",sep='')
    print(*prime_factors(2**k-1),sep='x')

в статью в Квантике про числа Мерсенна (вошла в №1 за 2025 год) захотелось включить короткую программу, которая демонстрирует, что числа вида 2^p-1 не всегда являются простыми

2^2-1=3
2^3-1=7
2^5-1=31
2^7-1=127
2^11-1=23x89
2^13-1=8191
2^17-1=131071
2^19-1=524287
2^23-1=47x178481
2^29-1=233x1103x2089

e^x = 1+x+x²/2+x³/3!+…

пусть x какое-нибудь конкретное число (на картинке x=20) — какие слагаемые дают основной вклад в сумму?

нетрудно понять, что для e^n самое большое слагаемое — это n^n/n!

дальше слагаемые уменьшаются как минимум в геометрической прогрессии и можно оценить
n^n/n! < e^n < (2n+1) n^n/n!
что дает простое доказательство слабой формы формулы Стирлинга:
(n/e)^n < n! < Cn (n/e)^n

прикольно, что это не так далеко от правильной асимптотики n! ~ C√n (n/e)^n

наверное оценку можно усилить, если понять какой ширины «горб» на картинке (в духе цпт и т.п.), но можно ли сделать это не опираясь на Стирлинга? не продумывал еще

===

нравится, что можно ставить компьютерные эксперименты без всякого программирования — в Экселе получается и доступно, и наглядно

файл в комментариях

Не планировал еще одного поста так скоро, но пришел Костя Кноп и рассказал забавное:

Как быстро посчитать много знаков числа π, если есть калькулятор с тригонометрическими функциями (но без обратных тригонометрических)? Предлагается такой рецепт: начинаем с грубого приближения π≈3, а дальше делаем пару-тройку итераций x→x+sin(x).

Можно было бы не писать никакой программы — но раз уж тут канал про компьютерные эксперименты:

from mpmath import *
mp.dps = 200

def iterate(approx):
    return approx+sin(approx)

mypi = 3
for k in range(4):
    mypi = iterate(mypi)
    diff = pi-mypi
    print(k+1,":",nstr(mypi,50),
          "diff:",nstr(diff,2))

Кто запустил код — может видеть, что через 4 итерации ошибка уже порядка 10^{-100} (!)

Ну и объяснить это не сложно: за итерацию мы заменяем π+t на π+t-sin(t), а t-sin(t)≈t³/6 — вот и увеличивается за каждую итерацию количество правильных цифр примерно втрое.

Еще можно заметить, что мы недалеко ушли от метода Ньютона (буквально метод Н. для sin(x) — это x→x-tg(x), но рядом с π это примерно то же).

Тему вычисления знаков π и т.п. наверное еще продолжим.

===

Я ничего не понимаю в библиотеках питона, а mpmath — то что сходу нашлось в гугле по моему запросу (чтобы можно было много цифр синуса считать и т.п.).

набросал вчера относительно длинный черновик поста с примерами того, что хотел бы закодить, но не могу (и почему именно не могу…)

но сегодня что-то посмотрел на один из примеров и решил, что глаза боятся, а… короче, код получился недлинный, но унесу все ж в комментарии

===

интересно считать количество разбиений разных фигур на доминошки

про прямоугольники 2×N и числа Фибоначчи и так все знают

а вот на картинке ацтекский бриллиант порядка 4 — сколькими способами его можно разбить на доминошки? а бриллиант порядка N?

тут общий ответ можно угадать по ответам для небольших N, но перебирать руками тяжеловато (для N=4 вариантов уже больше тысячи), компьютерный эксперимент действительно полезен

про разные способы этот ответ доказывать есть интересная брошюра Е.Смирнова «Три взгляда на ацтекский бриллиант», https://mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf

***

более естественная, казалось бы, идея — считать замощения обычного квадрата N×N… но там по ответам для маленьких N ничего угадать не возможно

все же перебрал на компутере и замощения квадрата 8×8 — в качестве ответа получилось название лекции С.Смирнова https://www.mathnet.ru/present18250