Математика Дата саентиста

10:40

Media is too big

VIEW IN TELEGRAM

➰ О свойствах параболы ➿

▪️ Вершина параболы — точка, в которой она меняет направление (самая высокая или низкая точка). Координаты вершины можно найти по формуле: x = −b / (2a), y = f(x). Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

▪️ Парабола (греч. παραβολή — приближение) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

▪️ Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы). Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

▪️Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: y² = 2⋅p⋅x, где p — фокальный параметр, равный расстоянию от фокуса до директрисы

▪️В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена: A⋅x² + B⋅x⋅y + C⋅y² + D⋅x + E⋅y + F = 0

▪️Парабола в полярной системе координат (ρ,ϑ) с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением ρ⋅(1 - cos(ϑ)) = p, где p — фокальный параметр

▪️Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.

▪️Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса. Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.

▪️Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

▪️Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия

▪️Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

www.group-telegram.com/us/data_math.com/790

1.0K viewsJul 3 at 07:20

➰ О свойствах параболы ➿

▪️ Вершина параболы — точка, в которой она меняет направление (самая высокая или низкая точка). Координаты вершины можно найти по формуле: x = −b / (2a), y = f(x). Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

▪️ Парабола (греч. παραβολή — приближение) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

▪️ Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы). Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

▪️Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: y² = 2⋅p⋅x, где p — фокальный параметр, равный расстоянию от фокуса до директрисы

▪️В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена: A⋅x² + B⋅x⋅y + C⋅y² + D⋅x + E⋅y + F = 0

▪️Парабола в полярной системе координат (ρ,ϑ) с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением ρ⋅(1 - cos(ϑ)) = p, где p — фокальный параметр

▪️Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.

▪️Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса. Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.

▪️Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

▪️Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия

▪️Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

BY Математика Дата саентиста