group-telegram.com/mentor_it/1334
Last Update:
Тригонометрическая функция тангенса представляет собой большой интерес. В этой заметке я расскажу парочку интересных фактов:
▪️ Высота некоторых объектов может быть вычислена с помощью тангенса. Ведь если известно расстояние до объекта и угол обзора, под которым с земли видна вершина объекта, то можно вычислить высоту по формуле h = d ⋅ tanα
▪️При проектировании зданий и сооружений тангенс используется для расчета наклона стен, крыш.
▪️В симуляции физики движение тангенс использует для определения углов, под которыми взаимодействуют объекты. Это нужно в разработке игр и 3D-моделировании.
▪️ tan(α) > α
▪️Тангенс позволяет определить угловой размер объекта: tan(α) = Xₐ / Dₐ , где Xₐ — размеры отрезка А, а Dₐ — расстояние до отрезка А. Математика перспективных изображений, соответствующих изображениям на сетчатке глаза, начинается с угловых размеров. Из этого соотношения следует, что чем дальше объект расположен от глаза, тем меньше его угловой размер, и тем меньше воспринимаемый глазом его линейный размер.
▪️Функция tan(α) тесно связана с геометрическим смыслом производной. Данное свойство используется в математическом анализе в определении производной: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны. В геометрии тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, то есть м ∕ с.
▪️Существует очень мощный лайфхак для решения задач математического анализа, в частности — взятия интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Речь идёт об универсальной тригонометрической подстановке или подстановке Карла Вейерштрасса. В этом случае все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла: t = tan(α/2) что даёт sin(x) = 2t/(1 + t²) ; cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²) ; dx = 2dt / (1 + t²). Для гиперболических функций существуют похожие формулы.
▪️1 + tan²(x) = sec²(x) и 1 + сtg²(x) = cosec²(x)
▪️Котангенс и косеканс имеют точки разрыва x = π ⋅ k. Но неограниченны по вертикали: (-∞; +∞)
▪️Существует красивое разложение тангенса в непрерывную цепную дробь: tan(x) = x / (1 - x² / (3 - x² /(5 - x² /(7 - x² /(...)))) )
▪️Тангенс происходит от лат. слова tangent = касательный/касание. Абуль-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад аль-Бузджани — персидский ученый X века, который ввёл тригонометрические функции тангенс и котангенс и построил их таблицы; нашёл с высокой точностью значение синуса одного градуса. Он же вывел формулу для синуса суммы двух углов, и в одно время с аль-Худжанди и Ибн Ираком доказал теорему синусов для сферических треугольников.
💡 Репетитор IT mentor // @mentor_it
