Математические байки

Forwarded from Компьютерная математика Weekly (Grigory Merzon)

справа можно видеть фрагмент квазипериодчиеского замощения плоскости

в нем участвуют равнобедренные треугольники с углами при вершине pi/5 (красные, «A») и 3pi/5 (синие, «B»)

они замечательны тем, что A можно разбить на уменьшенные копии A,B,A, ну а B можно разбить на уменьшенные копии A,B — и если начать с А и итерировать такие замены, то можно думать, что мы собираем из треугольников A и B всё большую копию треугольника¹ A (в левой половинке картинке — первая пара итераций)

такая мозаика — одна из вещей, про которые при создании канала думал, что хорошо бы ее нарисовать, но не очень понятно как

а вечером подумал, что это просто L-система — только параметрическая: кроме буквы A/B нужно помнить, как именно треугольник расположен на плоскости (и правила замены эти параметры должны правильно менять) — так что можно быстренько реализовать

¹ а чтобы получить замощение плоскости, можно, скажем, стартовать с 10 треугольников A с общей вершиной



положение треугольника решил хранить в виде пары комплексных чисел² (преобразования z→az+b, переводящего эталонный треугольник в наш) и написал такой шаг для получающейся параметрической l-системы:

phi = (math.sqrt(5)+1)/2
rot = math.cos(math.pi/5)+math.sin(math.pi/5)*1j

def step(state):
    for atom in state:
        c, a, b = atom
        if c=='A':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)
            yield ('A',a*(rot**3),(a+b)*phi)
        if c=='B':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)

state = [('A',rot**i,0+0j) for i in range(10)]
for _ in range(6):
    state = step(state)

по сути на этом все! — остается только дописать код для рисования треугольничков… ну программа целиком будет в комментариях

² уже засомневался, так ли это удачно — потому что для настоящей мозаики Пенроуза треугольники полезно и переворачивать

www.group-telegram.com/us/mathtabletalks.com/4696

1.8K viewsVictor Kleptsyn, Feb 2 at 08:52

справа можно видеть фрагмент квазипериодчиеского замощения плоскости

в нем участвуют равнобедренные треугольники с углами при вершине pi/5 (красные, «A») и 3pi/5 (синие, «B»)

они замечательны тем, что A можно разбить на уменьшенные копии A,B,A, ну а B можно разбить на уменьшенные копии A,B — и если начать с А и итерировать такие замены, то можно думать, что мы собираем из треугольников A и B всё большую копию треугольника¹ A (в левой половинке картинке — первая пара итераций)

такая мозаика — одна из вещей, про которые при создании канала думал, что хорошо бы ее нарисовать, но не очень понятно как

а вечером подумал, что это просто L-система — только параметрическая: кроме буквы A/B нужно помнить, как именно треугольник расположен на плоскости (и правила замены эти параметры должны правильно менять) — так что можно быстренько реализовать

¹ а чтобы получить замощение плоскости, можно, скажем, стартовать с 10 треугольников A с общей вершиной



положение треугольника решил хранить в виде пары комплексных чисел² (преобразования z→az+b, переводящего эталонный треугольник в наш) и написал такой шаг для получающейся параметрической l-системы:

phi = (math.sqrt(5)+1)/2
rot = math.cos(math.pi/5)+math.sin(math.pi/5)*1j

def step(state):
    for atom in state:
        c, a, b = atom
        if c=='A':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)
            yield ('A',a*(rot**3),(a+b)*phi)
        if c=='B':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)

state = [('A',rot**i,0+0j) for i in range(10)]
for _ in range(6):
    state = step(state)

BY Математические байки