Все модели неправильны, но некоторые полезны.

Джордж Бокс.

В мире вероятностей два распределения - нормальное (Гауссово) 1️⃣ и степенное (Парето или 80/20) 2️⃣ - это два разных взгляда на устройство мира - баланс и дисбаланс.

Нормальное распределение - мир равных возможностей, где нет ни взлётов, ни провалов. Возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат, и описывает равновесие и отклонение от него. Всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее. Например, при многократных замерах любого параметра погрешности распределяются вокруг истинного значения, а рост большинства людей близок к среднему; великаны и карлики - редкость.

Степенное распределение - мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одного сильнее действия тысяч других. Мир неравномерен, и это его естественное состояние. Здесь 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Идея 20/80 (реальное отношение может быть и другим) стала условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом.

Закон Парето описывает распределение популярности книг, песен, сайтов, "вирусности" постов, ошибкок кода, а также дисбаланс, неравенство и "чёрных лебедей" - события, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).

Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт).
Парето - из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Богатому проще разбогатеть ещё больше; популярные чаще становятся ещё популярнее.

Но бывают ситуации, когда всё запутано:

• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы, обвалы рынков, пузыри описываются "хвостами" Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно "нормальными", но сверхбогатые формируют "хвост" Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно - получится Гаусс, если есть бонусы и лидерство - Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны - Гаусс. В реальности - один "Гарри Поттер" делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде - ближе к норме; в креативной среде - один гений может всё изменить.

Мир не выбирает между "равенством" и "неравенством" - он использует оба сценария. Гаусс и Парето - два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй - в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда "средний" - иногда он "хвостатый". Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето - концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.

Гаусс и Парето - не конкуренты, а два ключевых инструмента в богатой палитре теории вероятностей, но есть и другие распределения, дополняющие их и лучше отражающие свою часть реальности: время ожидания между кликами в интернете или радиоактивный распад описываются экспоненциальным распределением, а число успехов при фиксированном количестве попыток или опечаток на странице - биномиальным.

В реальности мы часто наблюдаем гибриды или переходы от одного к другому:

• Распределение доходов может быть логнормальным в середине, и Парето в хвосте.
• Времена между поломками могут быть экспоненциальны, но с "тяжёлым хвостом", если есть сбои-катастрофы.

Мир данных - калейдоскоп: повернёшь под другим углом - увидишь новую закономерность. Распределения - линзы, через которые мы рассматриваем реальность. Чем больше линз - тем полнее картина!

#MathEssention@cliomechanics
#cm_модели

📝 Математическая эссенция - подписаться