Telegram Group & Telegram Channel
Вероятность как "частота" и как "плотность (вещества?)"

Обыватели воспринимают вероятность как "частоту". Ну вроде как подбросили монетку 100 раз, если примерно 50 раз выпал орёл и 50 раз решка, то вероятность каждого исхода была 1/2.

Уже в таком простом случае большое количество логических натяжек и проблем.

Статистики бы сказали, что провели "биномиальный тест". Т.е. исходя из наблюдаемого распределения результатов вывели, задним числом, какая могла бы быть вероятность отдельно взятого исхода в одном подбрасывании. Чем длиннее последовательность бросков, тем точнее можно дать соответствующую оценку (тем меньше так называемое p-value — т.е. вероятность сделать ошибочный статистический вывод).

В более сложных статистических методах оценивается не вероятность отдельного исхода, а соответствие некоторых характеристик (например, среднего значения) частной выборки "генеральной совокупности" (т.е. всему исследуемому множеству объектов/явлений — например, всем людям).

Всё это довольно сложная машинерия, опирающаяся со стороны собственно теорвера на "законы больших чисел" и "центральные предельные теоремы", а со стороны статистики на бесчисленное количество распределений и статистических проверок.

Насколько я понимаю, статистики-прикладники (социологи и психологи, например) не разбираются в первом, а математики не особо интересуются вторым :)

Для математиков вероятность это не "частота", а скорее "плотность вещества". Честная монетка это что-то вроде "гантели": невесомая твёрдая перемычка, связывающая два шарика одинаковой массы (для удобства суммарную массу примем за 1).

Если вероятности выпадения орла и решки не равны, "гантелю" начинает перекашивать; чтобы её уравновесить надо сдвинуть точку опоры в сторону большей массы. Что соответствует вычислению "математического ожидания".

Термины типа "момент", "второй момент", "второй центральный момент" (= дисперсия/variance), похоже, напрямую заимствованы математиками из механики — там "момент инерции" (вокруг начала координат или центра масс соответственно) в точности оно вот и есть.

Теорема Штейнера о моменте инерции относительно сдвинутой оси превращается в (более простую за счёт нормализации "массы" к единице) формулу математического ожидания квадрата сдвинутой на фиксированное значение случайной величины.

После Гальтона (о котором, кстати, писали ранее: 1, 2, 3) и Пирсона, по-видимому популяризировавших в теорвере термин "момент", Колмогоров наконец провёл окончательную формализацию, закрепив понимание вероятности как меры на множестве.

Представим что у нас есть две случайных величины X и Y, как на первой картинке выше, и их совместное распределение (высота столба над "столом" показывает вероятность совместного "выпадения" X,Y в соответствующую точку пространства). Каждая при этом может быть распределена произвольно, не равномерно.

Как узнать вероятность события, например, "Y больше или равно X"? Через двойной интеграл меры ("плотности вероятности") по множеству (квадрату X,Y) в заданном регионе (Y ≥ X) :)

А как это сделать? Да очень просто. Представим, что столбики указывают на плотность материала стола (чем выше столбик, тем плотнее соответствующее место стола). Проведём диагональную линию из нижнего левого в верхний правый угол квадрата, которая разделит его на два треугольника: там где X меньше Y, и там где Y меньше X (прямая y = x, "граница множества"). Дальше вырезаем ножовкой из стола нужный нам треугольник (где Y больше X, т.е. верхний). Кидаем его на весы. Готово, показания весов и есть искомая вероятность!



group-telegram.com/metaprogramming/379
Create:
Last Update:

Вероятность как "частота" и как "плотность (вещества?)"

Обыватели воспринимают вероятность как "частоту". Ну вроде как подбросили монетку 100 раз, если примерно 50 раз выпал орёл и 50 раз решка, то вероятность каждого исхода была 1/2.

Уже в таком простом случае большое количество логических натяжек и проблем.

Статистики бы сказали, что провели "биномиальный тест". Т.е. исходя из наблюдаемого распределения результатов вывели, задним числом, какая могла бы быть вероятность отдельно взятого исхода в одном подбрасывании. Чем длиннее последовательность бросков, тем точнее можно дать соответствующую оценку (тем меньше так называемое p-value — т.е. вероятность сделать ошибочный статистический вывод).

В более сложных статистических методах оценивается не вероятность отдельного исхода, а соответствие некоторых характеристик (например, среднего значения) частной выборки "генеральной совокупности" (т.е. всему исследуемому множеству объектов/явлений — например, всем людям).

Всё это довольно сложная машинерия, опирающаяся со стороны собственно теорвера на "законы больших чисел" и "центральные предельные теоремы", а со стороны статистики на бесчисленное количество распределений и статистических проверок.

Насколько я понимаю, статистики-прикладники (социологи и психологи, например) не разбираются в первом, а математики не особо интересуются вторым :)

Для математиков вероятность это не "частота", а скорее "плотность вещества". Честная монетка это что-то вроде "гантели": невесомая твёрдая перемычка, связывающая два шарика одинаковой массы (для удобства суммарную массу примем за 1).

Если вероятности выпадения орла и решки не равны, "гантелю" начинает перекашивать; чтобы её уравновесить надо сдвинуть точку опоры в сторону большей массы. Что соответствует вычислению "математического ожидания".

Термины типа "момент", "второй момент", "второй центральный момент" (= дисперсия/variance), похоже, напрямую заимствованы математиками из механики — там "момент инерции" (вокруг начала координат или центра масс соответственно) в точности оно вот и есть.

Теорема Штейнера о моменте инерции относительно сдвинутой оси превращается в (более простую за счёт нормализации "массы" к единице) формулу математического ожидания квадрата сдвинутой на фиксированное значение случайной величины.

После Гальтона (о котором, кстати, писали ранее: 1, 2, 3) и Пирсона, по-видимому популяризировавших в теорвере термин "момент", Колмогоров наконец провёл окончательную формализацию, закрепив понимание вероятности как меры на множестве.

Представим что у нас есть две случайных величины X и Y, как на первой картинке выше, и их совместное распределение (высота столба над "столом" показывает вероятность совместного "выпадения" X,Y в соответствующую точку пространства). Каждая при этом может быть распределена произвольно, не равномерно.

Как узнать вероятность события, например, "Y больше или равно X"? Через двойной интеграл меры ("плотности вероятности") по множеству (квадрату X,Y) в заданном регионе (Y ≥ X) :)

А как это сделать? Да очень просто. Представим, что столбики указывают на плотность материала стола (чем выше столбик, тем плотнее соответствующее место стола). Проведём диагональную линию из нижнего левого в верхний правый угол квадрата, которая разделит его на два треугольника: там где X меньше Y, и там где Y меньше X (прямая y = x, "граница множества"). Дальше вырезаем ножовкой из стола нужный нам треугольник (где Y больше X, т.е. верхний). Кидаем его на весы. Готово, показания весов и есть искомая вероятность!

BY Metaprogramming


Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260

Share with your friend now:
group-telegram.com/metaprogramming/379

View MORE
Open in Telegram


Telegram | DID YOU KNOW?

Date: |

Continuing its crackdown against entities allegedly involved in a front-running scam using messaging app Telegram, Sebi on Thursday carried out search and seizure operations at the premises of eight entities in multiple locations across the country. Update March 8, 2022: EFF has clarified that Channels and Groups are not fully encrypted, end-to-end, updated our post to link to Telegram’s FAQ for Cloud and Secret chats, updated to clarify that auto-delete is available for group and channel admins, and added some additional links. The company maintains that it cannot act against individual or group chats, which are “private amongst their participants,” but it will respond to requests in relation to sticker sets, channels and bots which are publicly available. During the invasion of Ukraine, Pavel Durov has wrestled with this issue a lot more prominently than he has before. Channels like Donbass Insider and Bellum Acta, as reported by Foreign Policy, started pumping out pro-Russian propaganda as the invasion began. So much so that the Ukrainian National Security and Defense Council issued a statement labeling which accounts are Russian-backed. Ukrainian officials, in potential violation of the Geneva Convention, have shared imagery of dead and captured Russian soldiers on the platform. Just days after Russia invaded Ukraine, Durov wrote that Telegram was "increasingly becoming a source of unverified information," and he worried about the app being used to "incite ethnic hatred." Telegram has become more interventionist over time, and has steadily increased its efforts to shut down these accounts. But this has also meant that the company has also engaged with lawmakers more generally, although it maintains that it doesn’t do so willingly. For instance, in September 2021, Telegram reportedly blocked a chat bot in support of (Putin critic) Alexei Navalny during Russia’s most recent parliamentary elections. Pavel Durov was quoted at the time saying that the company was obliged to follow a “legitimate” law of the land. He added that as Apple and Google both follow the law, to violate it would give both platforms a reason to boot the messenger from its stores.
from tw


Telegram Metaprogramming
FROM American