نوین رسانه (Multidisciplinary Media)

فرضیه پیوستار

پرسش مستقل از نظریه پرسشی است که نمی‌توان آن را رد کرد و یا اثبات نمود.
این ناتوانی صرفاً معرفتی نیست، یعنی چنین نیست که فعلاً پاسخ پرسش مزبور را ندانیم؛ بلکه این پرسش باز است و در نظریه مورد نظر قابل پاسخ‌گویی نيست.
چنین پرسش‌هایی در رياضيات فراوان دیده می‌شود ولی مشهورترین مثال آن پرسش از اندازه پیوستار است.
پرسش این است که «عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی کدام است؟»

عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی نامتناهی است و از عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر است.
می‌توان نشان داد که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی دو به توان الف-صفر است. این پاسخ ظاهراً مشکلی ندارد.
مشکل آنجاست که نسبت این عدد اصلی با دیگر اعداد اصلی نامتناهی را بررسی می‌کنیم.

اگر اولین نامتناهی ناشمارا را با الف-یک و دومین نامتناهی ناشمارا را با الف-دو و به همین ترتیب پیش برویم، پرسش این است که کدام یک از این اعداد اصلی همان دو به توان الف-صفر است.
یک پاسخ وسوسه‌انگیز این است که دو به توان الف-صفر همان الف-یک است یعنی اندازه پیوستار را کوچکترین نامتناهی شمارش‌ناپذیر بدانیم.
این پاسخ به فرضیه پیوستار موسوم است و دارای تاریخچه‌ای پرافتخار است که بزرگترین ریاضی‌دانان دوران مدرن را درگیر خود ساخت.

شخصی که فرضیه پیوستار را به عنوان پاسخی هوشمندانه به پرسش از اندازه پیوستار مطرح ساخت، کانتور بود.
پس از آن در فهرست بسیار مشهوری که ریاضیدان بزرگ آلمانی دیوید هیلبرت به کنگره بین‌المللی ریاضی‌دانان سال ۱۹۰۰ در پاریس ارائه داد و در آن ده مسأله مهم ریاضیات مطرح شده بود، این فرضیه نیز قرار گرفت.
چند سال بعد زمانی که این فهرست انتشار یافت، شمار مسائل این فهرست به ۲۳ مسئله افزایش یافت.
این مسائل به مسائل هیلبرت مشهور است و حل هر کدام از این مسائل شأن و منزلت فراوانی را به ارمغان می‌آورد.

این فهرست تأثیر شگفت‌آوری در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم داشت.
اثبات فرضیه پیوستار پرسش شماره یک در فهرست هیلبرت بود.
در سال ۱۹۴۰ گودل اثبات کرد که فرضیه پیوستار با نظریه استاندارد مجموعه‌ها که به نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل انتخاب یا ZFC مشهور است، سازگار است.

واضح است که سازگار بودن با نظریه استاندارد مجموعه‌ها چیزی غیر از قابل اثبات بودن در نظریه استاندارد مجموعه‌ها است و فرضیه پیوستار به این شکل اثبات نمی‌شود.
پس از آن در سال ۱۹۶۳ ریاضیدان آمریکایی پاول کوهن نشان داد که چرا فرضیه پیوستار اثبات‌پذیر نیست.
او نشان داد که نقیض فرض پیوستار نیز با ZFC سازگار است.
با کنار هم گذاشتن نتیجه ۱۹۴۰ گودل و همچنین نتیجۀ کوهن می‌فهمیم که فرضیه پیوستار مستقل از نظریه استاندارد مجموعه‌هاست.

در اینجا با پرسش طبیعی و بسیار مهمی درباره ریاضیات مواجهیم «عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی کدام است؟» و این پرسش نمی‌تواند با بهترین نظریه ما در باب مجموعه‌ها پاسخ داده شود.
در اینجا چند گزینه وجود دارد یکی آنکه نظریه مربوطه به منظور توانایی ارائه پاسخی به این پرسش غنی شود.
گزینه دیگر نیز این است که وجود چنین پرسش‌های بازی را در ریاضیات بپذیریم و از این ایده که تمامی پرسش‌ها در ریاضیات قابل پاسخ‌گویی هستند صرف نظر کنیم.
هر کدام از این دو گزینه چیزهای زیادی برای بیان کردن دارند و بر اساس هر کدام از گزینه‌ها خود را در وسط معرکه نزاع‌های میان واقع‌گرایی و ضدواقع‌گرایی در باب ریاضیات خواهیم یافت.

درآمدی بر فلسفهٔ ریاضی معاصر، نوشته مارک کولی‌ون، ترجمه کامران شهبازی، صص ۷۳ تا ۷۵

مطالب مرتبط
🔘 نظریه مجموعه‌ها در فرانسه

#علم
#ریاضیات
#فلسفه‌ریاضیات
@multidisciplinarymedia

👏2❤1

www.group-telegram.com/us/multidisciplinarymedia.com/1502

510 viewsedited  Aug 13 at 04:34

فرضیه پیوستار

پرسش مستقل از نظریه پرسشی است که نمی‌توان آن را رد کرد و یا اثبات نمود.
این ناتوانی صرفاً معرفتی نیست، یعنی چنین نیست که فعلاً پاسخ پرسش مزبور را ندانیم؛ بلکه این پرسش باز است و در نظریه مورد نظر قابل پاسخ‌گویی نيست.
چنین پرسش‌هایی در رياضيات فراوان دیده می‌شود ولی مشهورترین مثال آن پرسش از اندازه پیوستار است.
پرسش این است که «عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی کدام است؟»

عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی نامتناهی است و از عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر است.
می‌توان نشان داد که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی دو به توان الف-صفر است. این پاسخ ظاهراً مشکلی ندارد.
مشکل آنجاست که نسبت این عدد اصلی با دیگر اعداد اصلی نامتناهی را بررسی می‌کنیم.

اگر اولین نامتناهی ناشمارا را با الف-یک و دومین نامتناهی ناشمارا را با الف-دو و به همین ترتیب پیش برویم، پرسش این است که کدام یک از این اعداد اصلی همان دو به توان الف-صفر است.
یک پاسخ وسوسه‌انگیز این است که دو به توان الف-صفر همان الف-یک است یعنی اندازه پیوستار را کوچکترین نامتناهی شمارش‌ناپذیر بدانیم.
این پاسخ به فرضیه پیوستار موسوم است و دارای تاریخچه‌ای پرافتخار است که بزرگترین ریاضی‌دانان دوران مدرن را درگیر خود ساخت.

شخصی که فرضیه پیوستار را به عنوان پاسخی هوشمندانه به پرسش از اندازه پیوستار مطرح ساخت، کانتور بود.
پس از آن در فهرست بسیار مشهوری که ریاضیدان بزرگ آلمانی دیوید هیلبرت به کنگره بین‌المللی ریاضی‌دانان سال ۱۹۰۰ در پاریس ارائه داد و در آن ده مسأله مهم ریاضیات مطرح شده بود، این فرضیه نیز قرار گرفت.
چند سال بعد زمانی که این فهرست انتشار یافت، شمار مسائل این فهرست به ۲۳ مسئله افزایش یافت.
این مسائل به مسائل هیلبرت مشهور است و حل هر کدام از این مسائل شأن و منزلت فراوانی را به ارمغان می‌آورد.

این فهرست تأثیر شگفت‌آوری در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم داشت.
اثبات فرضیه پیوستار پرسش شماره یک در فهرست هیلبرت بود.
در سال ۱۹۴۰ گودل اثبات کرد که فرضیه پیوستار با نظریه استاندارد مجموعه‌ها که به نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل انتخاب یا ZFC مشهور است، سازگار است.

واضح است که سازگار بودن با نظریه استاندارد مجموعه‌ها چیزی غیر از قابل اثبات بودن در نظریه استاندارد مجموعه‌ها است و فرضیه پیوستار به این شکل اثبات نمی‌شود.
پس از آن در سال ۱۹۶۳ ریاضیدان آمریکایی پاول کوهن نشان داد که چرا فرضیه پیوستار اثبات‌پذیر نیست.
او نشان داد که نقیض فرض پیوستار نیز با ZFC سازگار است.
با کنار هم گذاشتن نتیجه ۱۹۴۰ گودل و همچنین نتیجۀ کوهن می‌فهمیم که فرضیه پیوستار مستقل از نظریه استاندارد مجموعه‌هاست.

در اینجا با پرسش طبیعی و بسیار مهمی درباره ریاضیات مواجهیم «عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی کدام است؟» و این پرسش نمی‌تواند با بهترین نظریه ما در باب مجموعه‌ها پاسخ داده شود.
در اینجا چند گزینه وجود دارد یکی آنکه نظریه مربوطه به منظور توانایی ارائه پاسخی به این پرسش غنی شود.
گزینه دیگر نیز این است که وجود چنین پرسش‌های بازی را در ریاضیات بپذیریم و از این ایده که تمامی پرسش‌ها در ریاضیات قابل پاسخ‌گویی هستند صرف نظر کنیم.
هر کدام از این دو گزینه چیزهای زیادی برای بیان کردن دارند و بر اساس هر کدام از گزینه‌ها خود را در وسط معرکه نزاع‌های میان واقع‌گرایی و ضدواقع‌گرایی در باب ریاضیات خواهیم یافت.

درآمدی بر فلسفهٔ ریاضی معاصر، نوشته مارک کولی‌ون، ترجمه کامران شهبازی، صص ۷۳ تا ۷۵

مطالب مرتبط
🔘 نظریه مجموعه‌ها در فرانسه

#علم
#ریاضیات
#فلسفه‌ریاضیات
@multidisciplinarymedia

BY نوین رسانه (Multidisciplinary Media)