Telegram Group & Telegram Channel
Какие еще есть доказательства теоремы Монжа?

Ну, во-первых, есть стандартное доказательство с теоремой Менелая. Я бы даже сказал, что теорема Монжа это и есть теорема Менелая.

Во-вторых, есть доказательство с композицией гомотетий. Если композиция трех гомотетий является тождественным преобразованием, то центры лежат на одной прямой. Как это понять? Надо проследить, например, за центром первой гомотетии. Если центры гомотетий не лежат на одной прямой, то он не имеет шансов вернуться назад в исходное положение.

В-третьих, есть замечательное доказательство от Григория Мерзона с линейными функциями. Обозначим центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Пускай [B,C] — линейная функция на плоскости, которая в точках B и C равна 0, а в точке A равна 1 (в частности, [B,C]=0 — уравнение линии центров этих окружностей). Аналогично определим функции [C,A] и [A,B].
Тогда a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]=0 — уравнение прямой, на которой лежат нужные три точки.

В-четвертых, есть доказательство с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского. Вкратце, если радиусы (в смысле модели) первой и второй окружностей равны, и второй и третьей равны, то и радиусы первой и третей окружностей равны. А движение, переводящее равные окружности друг в друга это как раз гомотетия с центром на абсолюте.

В-пятых, есть доказательство Акопяна из вчерашнего поста.

А в-шестых, предлагаю такое доказательство с помощью масс. Пусть опять центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Поставим в точку A массу b-c, в точку B массу c-a, и в точку C массу a-b. Сумма масс равна нулю, центра масс нет, но есть утверждение, которое я называю лемма о диполе

Предположим дана система материальных точек с нулевой суммой масс. Ее разбили на две группы двумя способами. При первом разбиении образовалось две группы с ненулевыми суммами, при этом группа с положительной суммой масс имеет центром точку X+, а группа с отрицательной суммой масс имеет центром точку X-. При втором разбиении аналогично получаются точки Y+ и Y-. Тогда X-X+ и Y-Y+ параллельны - дипольная ось.

В нашем случае мы разобьем, скажем, массу в точке C на две

a-b=a/c(c-b)+b/c(a-c)

массы (A, b-c) и (C, a/c(c-b)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами A и C;

массы (B, c-a), (C, b/c(a-c)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами B и C;

поэтому прямая, соединяющая два центра гомотетий, параллельна дипольной оси нашей системы масс. а значит и все три центра лежат на одной прямой.

UPD. Забыл еще доказательство со сферами и выходом в пространство..
20🎉10🔥8👍76



group-telegram.com/olympgeom/1406
Create:
Last Update:

Какие еще есть доказательства теоремы Монжа?

Ну, во-первых, есть стандартное доказательство с теоремой Менелая. Я бы даже сказал, что теорема Монжа это и есть теорема Менелая.

Во-вторых, есть доказательство с композицией гомотетий. Если композиция трех гомотетий является тождественным преобразованием, то центры лежат на одной прямой. Как это понять? Надо проследить, например, за центром первой гомотетии. Если центры гомотетий не лежат на одной прямой, то он не имеет шансов вернуться назад в исходное положение.

В-третьих, есть замечательное доказательство от Григория Мерзона с линейными функциями. Обозначим центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Пускай [B,C] — линейная функция на плоскости, которая в точках B и C равна 0, а в точке A равна 1 (в частности, [B,C]=0 — уравнение линии центров этих окружностей). Аналогично определим функции [C,A] и [A,B].
Тогда a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]=0 — уравнение прямой, на которой лежат нужные три точки.

В-четвертых, есть доказательство с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского. Вкратце, если радиусы (в смысле модели) первой и второй окружностей равны, и второй и третьей равны, то и радиусы первой и третей окружностей равны. А движение, переводящее равные окружности друг в друга это как раз гомотетия с центром на абсолюте.

В-пятых, есть доказательство Акопяна из вчерашнего поста.

А в-шестых, предлагаю такое доказательство с помощью масс. Пусть опять центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Поставим в точку A массу b-c, в точку B массу c-a, и в точку C массу a-b. Сумма масс равна нулю, центра масс нет, но есть утверждение, которое я называю лемма о диполе

Предположим дана система материальных точек с нулевой суммой масс. Ее разбили на две группы двумя способами. При первом разбиении образовалось две группы с ненулевыми суммами, при этом группа с положительной суммой масс имеет центром точку X+, а группа с отрицательной суммой масс имеет центром точку X-. При втором разбиении аналогично получаются точки Y+ и Y-. Тогда X-X+ и Y-Y+ параллельны - дипольная ось.

В нашем случае мы разобьем, скажем, массу в точке C на две

a-b=a/c(c-b)+b/c(a-c)

массы (A, b-c) и (C, a/c(c-b)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами A и C;

массы (B, c-a), (C, b/c(a-c)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами B и C;

поэтому прямая, соединяющая два центра гомотетий, параллельна дипольной оси нашей системы масс. а значит и все три центра лежат на одной прямой.

UPD. Забыл еще доказательство со сферами и выходом в пространство..

BY Олимпиадная геометрия


Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260

Share with your friend now:
group-telegram.com/olympgeom/1406

View MORE
Open in Telegram


Telegram | DID YOU KNOW?

Date: |

Despite Telegram's origins, its approach to users' security has privacy advocates worried. Emerson Brooking, a disinformation expert at the Atlantic Council's Digital Forensic Research Lab, said: "Back in the Wild West period of content moderation, like 2014 or 2015, maybe they could have gotten away with it, but it stands in marked contrast with how other companies run themselves today." That hurt tech stocks. For the past few weeks, the 10-year yield has traded between 1.72% and 2%, as traders moved into the bond for safety when Russia headlines were ugly—and out of it when headlines improved. Now, the yield is touching its pandemic-era high. If the yield breaks above that level, that could signal that it’s on a sustainable path higher. Higher long-dated bond yields make future profits less valuable—and many tech companies are valued on the basis of profits forecast for many years in the future. Oh no. There’s a certain degree of myth-making around what exactly went on, so take everything that follows lightly. Telegram was originally launched as a side project by the Durov brothers, with Nikolai handling the coding and Pavel as CEO, while both were at VK. Since January 2022, the SC has received a total of 47 complaints and enquiries on illegal investment schemes promoted through Telegram. These fraudulent schemes offer non-existent investment opportunities, promising very attractive and risk-free returns within a short span of time. They commonly offer unrealistic returns of as high as 1,000% within 24 hours or even within a few hours.
from us


Telegram Олимпиадная геометрия
FROM American