Mathematical Musings

Mathematical Musings

Godel's Proof.pdf

در سال ۱۹۳۱ در یه مجله آلمانی مقاله ای منتشر شد که عنوانش(به انگلیسی) می شد:
On Formally Undecidable Propositions of
Principia Mathematica and Related Systems
به نسبت، عنوان جسورانه ای محسوب می شد از یک جوان ۲۵ ساله. عنوان مقاله اشاره می کرد به اثری از دو ریاضیدان برجسته یعنی وایتهد و راسل که کتاب سه جلدی
Principia Mathematica
درباره منطق و مبانی ریاضی نوشته بودند. مقاله نقطه عطفی در تاریخ منطق و ریاضی محسوب می شد و یکی از مهمترین آثار در این زمینه. البته در زمان انتشار مقاله نه عنوانش و نه محتویاتش برای خیلی از ریاضیدان ها جذابیتی نداشت. خود اثر سه جلدی وایتهد و راسل هم تقریبا به بخش زیادی از ریاضیات ارتباطی نداشت و پیش نیاز مطالعه خیلی از شاخه های ریاضی محسوب نمی شد. مقاله هم اونقدر تکنیکی بود که فقط افراد متخصص می تونستند ازش سر در بیارند. مقاله گودل حمله ای بود به یک مساله اساسی در مبانی ریاضیات.
در هندسه از زمان بسیار قدیم با مساله ای مواجه بودند که اصولی رو به عنوان حقایق می پذیرفتند و بعد قضایایی رو از اون اصول نتیجه می گرفتند.(مثل این اصل که از هر دو نقطه یک خط راست می گذره). در واقع با پذیرش چند اصل می شد سیستمی عظیمی رو بنا کرد که قضایای زیادی در اون قابل اثبات بود. سال ها همه این رو پذیرفته بودند که با فرض درست بودن اصول می شه اون قضایا رو اثبات کرد. یعنی اگر چند تا اصل رو به عنوان اصول اولیه بپذیریم، با چاشنی کمی استدلال و منطق می شه درباره هر گزاره ای تصمیم گرفت. گودل با قضایای خودش این باور چند هزار ساله رو به لرزه در آورد، یعنی ثابت کرد که حتی در یه سیستم ساده مثل حساب و بررسی اعداد صحیح، وقتی که axiomatic بشه، به گزاره هایی می رسیم که نه می شه اثباتش کرد و نه ردش کرد. در واقع برخلاف تصوری که سال های قبل برای بعضی از ریاضیدان ها به وجود اومده بود، ریاضیات رو نمی شد به مجموعه ای از axiom ها کاهش داد.

❤5👍3🔥2

www.group-telegram.com/ye/MathematicalMusings.com/807

1.59K viewsedited  Feb 21 at 19:35

در سال ۱۹۳۱ در یه مجله آلمانی مقاله ای منتشر شد که عنوانش(به انگلیسی) می شد:
On Formally Undecidable Propositions of
Principia Mathematica and Related Systems
به نسبت، عنوان جسورانه ای محسوب می شد از یک جوان ۲۵ ساله. عنوان مقاله اشاره می کرد به اثری از دو ریاضیدان برجسته یعنی وایتهد و راسل که کتاب سه جلدی
Principia Mathematica
درباره منطق و مبانی ریاضی نوشته بودند. مقاله نقطه عطفی در تاریخ منطق و ریاضی محسوب می شد و یکی از مهمترین آثار در این زمینه. البته در زمان انتشار مقاله نه عنوانش و نه محتویاتش برای خیلی از ریاضیدان ها جذابیتی نداشت. خود اثر سه جلدی وایتهد و راسل هم تقریبا به بخش زیادی از ریاضیات ارتباطی نداشت و پیش نیاز مطالعه خیلی از شاخه های ریاضی محسوب نمی شد. مقاله هم اونقدر تکنیکی بود که فقط افراد متخصص می تونستند ازش سر در بیارند. مقاله گودل حمله ای بود به یک مساله اساسی در مبانی ریاضیات.
در هندسه از زمان بسیار قدیم با مساله ای مواجه بودند که اصولی رو به عنوان حقایق می پذیرفتند و بعد قضایایی رو از اون اصول نتیجه می گرفتند.(مثل این اصل که از هر دو نقطه یک خط راست می گذره). در واقع با پذیرش چند اصل می شد سیستمی عظیمی رو بنا کرد که قضایای زیادی در اون قابل اثبات بود. سال ها همه این رو پذیرفته بودند که با فرض درست بودن اصول می شه اون قضایا رو اثبات کرد. یعنی اگر چند تا اصل رو به عنوان اصول اولیه بپذیریم، با چاشنی کمی استدلال و منطق می شه درباره هر گزاره ای تصمیم گرفت. گودل با قضایای خودش این باور چند هزار ساله رو به لرزه در آورد، یعنی ثابت کرد که حتی در یه سیستم ساده مثل حساب و بررسی اعداد صحیح، وقتی که axiomatic بشه، به گزاره هایی می رسیم که نه می شه اثباتش کرد و نه ردش کرد. در واقع برخلاف تصوری که سال های قبل برای بعضی از ریاضیدان ها به وجود اومده بود، ریاضیات رو نمی شد به مجموعه ای از axiom ها کاهش داد.

BY Mathematical Musings